32 a)
D simetric A, BM≡MC⇒ABDC paralelogram
ABDC paralelogram⇒ΔACB≡ΔDBC⇒BE≡CN (bisectoare coresp unor laturi congruente in tr.congruente) (1)
m∡NCB=m∡ACB/2=mas∡DBC/2=mas∡EBC
m∡NCB=mas∡EBC, alterne interne, BC secanta⇒NC||BE (2)
din (1) si (2), NBEC patrulater cu 2 laturi opuse || si≡, NBEC p[aralelogram
M jumatatea diagonaleiBC⇒M, centrude simetrie⇒MF≡MP(3)
din (3) si AM≡MD ( ipoteza, D simetricul lui A fata de M)⇒AP≡FD, cerinta a)
b)AC/BC=BD/BC ( BD≡AC pt ca ABDC paralelogram, cf a) )
BD/BC=(teorema bisectoareiΔBDC)=DE /EC , cerinta b)
34
PQ||AM⇒(Thales)
AP/AC=QM/MC
dar MC=MB (ipoteza, M mijloc BC) ⇒
AP/AC=MQ/BM dar NQ||AM deci, Thales
MQ/BM=AN /AB
deci AP/AC=QM/Mc=QM/BM=AN/AB
luand primele 2 rapoartedi proportie
AP/AC=AN/AB
schimband extremii intre ei,
AB/AC=AN/AP, cerinta
