In planul ABC deducem imediat din teorema lui Pitagora AC=√(BC²-AB²)=40
DISTANTA
DB⊥(ABC)⇒DB⊥AC⊂(ABC)⇔AC⊥DB (1)
AC⊥AB (ΔABCdreptunghic in A, ipoteza) (2)
din (1) si (2)⇒AC⊥(DBA)⇒AC⊥MB⊂(DBA), MB⊥AC (3)
dar MB⊥DC (ipoteza) (4)
din (3)si (4)⇒BM⊥(DAC) (5)
BM⊥(DAC) (5)
DC⊂(DAC)(6)
BN⊥DC (ipoteza)(7)
din (5) , (6), (7)⇒Reciproca Teo 3 perpenfdiculare MN⊥DC (8)
MN⊥DC (8)
BN⊥DC (ipoteza)(7)
din (7) si (8)⇒CN⊥(BMN)⇒d (C, (BMN))=CN
CN=?
v.Fig.2
In tr dr DBC, BD=40 (ipoteza), BC=50 (ipoteza)⇒Teo pitagora DC=10√(4²+5²)=
10√41
Teo catetei in tr,dr.DBC
BC²=NC*DC
50*50=NC*10√41⇒
⇒NC=250/√41=(250√41)/41=d(C, (BMN)), cerinta
PERIMETRUL
Perimetrul ΔBMN=BM +BN +MN
BM, inaltime coresp ipotenuzei in tr.dr.DBA , in care AB=30, BD=40⇒
( Teo.Pitagora)DA=50
BM=30*40/50=24cm v.Fig.4
BN, inaltime coresp ipotenuzei in tr.dr.DBC,(Fig.2) DB=40, BC=50, DC=10√41
BN=40*50/(10√41)=200/√41=(200√41)/41
MN=? v,Fig.3
DB ⊥(ABC) ipoteza
BA⊥AC⊂(ABC) ipoteza din ultimele 2 relatii⇒( Teo celor 3 perp),DA⊥AC
deci DAC tr dr in A
cum MN⊥DC (8) si ∡MDN≡∡ADC, ΔDMN siΔDCa dreptunghice⇒ΔDMN≈ΔDCA fig3
DM/DC=MN/AC
cf .fig 4
DM²=DB²-MB²=40²-24²=32²
DM=32
DA=√(DB²+BA²)=√(40²+30²)=50
relatia
DM/DC=MN/AC devine
32/(10√41)=MN/40
de unde MN=40*32/(10√41)=128/√41=128√41/41
Deci perimetrul BMN=BM+BN +MN=24+200/√41 +128/√41=
24+328/√41=24+(328√41)/41
ARIA
cf ( 5) avem : BM⊥(DAC) ⇒BM⊥MN⊂(DAC), deci BMN dreptunghic in M
Arie ΔBMN=(cateta1* cateta2)/2=BM*MN/2=(24*128/√41 )/2=
1536/√41=(1536√41)/41
Altfel
pt ca au fost calcule lungi si rezultatele sunt numere irationale ; vom VERIFICA cu ajutorul Reciprocei Teo Pitagora daca ΔBMN este dreptunghic si daca laturile sunt bine calculate
vom compara patratul celei mai mari laturi cu suma patratelorcelor 2 mai mici
(200/√41)² comparat 24²+(128/√41)²
40000/41 comparat cu 576+16384/41
40000/41 comparat cu (576*41+16384)/41
40000/41 =40000/41, adevarat deci triunghiul este dreptunghic in M (ipotenuza BN)
