Fie x, y, z, trei numere reale astfel încât:
x^2 - (y - z)^2 = 10^3 și 2z - 2x - 2y = -20.
Arătați că numărul x - y + z este egal cu pătratul unui număr natural.
R:
Pentru prima relație, aplicăm formula diferenței pătratelor :
a² - b² = (a - b)(a + b).
x² - (y - z)² = 10³ ⇔(x - y + z)(x + y - z) =1000 (1)
Acum ne ocupăm de a doua relație :
2z - 2x - 2y = -20 |:2 ⇔ z - x - y = -10 |·(-1) ⇔ x + y - z = 10 (2)
Din relațiile (1), (2) ⇒ (x - y + z)·10=1000 |:10⇒x - y + z = 100 =10² (pătrat perfect).
