14.
a)ABCD paralelogram(ipoteza)⇒AB||si≡cuDC (1)
CDEF paralelogram (ipoteza)⇒CD||si≡cu EF (2)
din (1) si (2)⇒AB||si ≡cuEF⇒ABFE paralelogram, cerinta
b)AO1≡O1C (AC diagonala in paralelogramulABCD) (3)
EO2≡O2C (EC diagonala in paralelogramul DCFE) (4)
din(3) si (4)⇒O1O2 l.m in ΔDBF⇒O1O2=BF/2, cerintra
13.
a)
ABCD paralelogram⇒AB≡DC (1)
BCMNpaqralelogram⇒BN≡CN (2)
din (1) si (2)⇒AB+BN=DC+CM⇔AN≡DM, [AN]=[DM], cerinta
b)cf problemei 14 , O1 O2 l.m.in Δ BDM
O1 si )2 intersectii ale diagonalelor, O1 siO2 centrede simetrie alle paralelogramelor ABCD si, respectiv, BCMN
tot cf dem.de la problema 14, ANMD paralelogram, ⇒O3 centru de simetrie al paralelogramului ANMD
cum AD||si≡BC||si≡NM d(O3,AN)=d(O3, DM)=d(O1,AB,)=d(O1,DC)
adica O3∈ O1O2 sau O1, O2, O3 coliniare, O1O2O3 NU este triunghi ci este segment (triunghi degenerat), notat cu capetele sale, O1O2
asa cum si DCM este segment, notat cu capetele sale, DM
(cerinta din problema este formulata gresit)
cum DO1≡BO1 si BO2≡O2M, ⇒O1O2 l.m. inΔBDM, O1O2=DM/2, "cerinta"
12
AN=AC/2=NP⇒ΔANP isoscel de baza AP (1)
MNl.m. MN||BC, mas(ANM)=60°
m (ANP)=180°-60°=120° (2)
din (1) si (2)⇒mas(NAP)=(180°-120°):2=30° (3)
din (3) si mas (BAC)=60° (ΔABC echilateral)⇒m(BAP)=60°+30°=90⇔AP⊥AB, cerinta
b)ND⊥AP , ipoteza
ANP isoscel (cf dem pct a))⇒ND mediana⇔AD≡DP (4)
BM≡MA ( ipoteza) (5)
din (4) si (5)⇒ND l.m.inΔPMA⇒ND=AM:2= (AB:2):2=AB:4=AB/4 (6)
ND inaltime in tr.is ANP, ND bisectoare ANP, NQ bisectoare MNC⇒m ( QNC)=60°
⇔NQ||AB (7)
dar AN=NC (8)
din ( 7) si (8)⇒NQ l.m.inΔABC, NQ=AB/2 (9)
din (6) si (9)⇒DQ=DN+NQ=AB/4+AB/2=3AB/4
dar ΔABC echilateral deci
DQ=3BC/4, cerinta
