[tex]\it i\cdot i^2\cdot i^3\cdot i^4 = i\cdot(-1)\cdot(-i)\cdot1 = i\cdot i =i^2= -1
\\\;\\
i^5\cdot i^6\cdot i^7\cdot i^8 = (i^4\cdot i)\cdot(i^4\cdot i^2)(i^4 \cdot i^3)(i^4\cdot i^4) = i\cdot i^2\cdot i^3\cdot i^4 =-1[/tex]
Avem 2012 : 4 = 503 asemenea grupe, fiecare grupă fiind egală cu (-1)
Deci produsul este : (-1)⁵⁰³ = -1
Acum vom analiza suma.
Până la penultimul termen, inclusiv, avem 2012 termeni.
Grupând câte 4, vom avea:
[tex]\it i+i^2+i^3+i^4 = i-1-i+1 =0
\\\;\\
i^5+i^6+i^7+i^8 = i^4(i+i^2+i^3+i^4) =1\cdot 0 = 0
[/tex]
Deci, suma va fi egală cu i²⁰¹³ = i²⁰¹²·i = 1·i = i
Raportul din enunț este :
[tex]\it \dfrac{-1}{i} =\dfrac{-1\cdot i}{i^2} = \dfrac{-i}{-1} = \dfrac{i}{1} = i[/tex]
