O functie are proprietatea Darboux daca transforma un interval in alt interval.
f(-2)=3*(-2)+1=-5
f(2)=3*2+1=7
Presupunem ca f nu are proprietate Darboux.Atunci exista y1∈(-5,7)
a.i f(x)≠y1 ∀x∈(-2,22) Fals deorece functia de grd 1 este surjectiva deci ecuatia f(x)=y1 admite solutii Deci f((-2,2)=(-7,-5) f are proprietatea Darboux
Analog pt I2
f(0)=1 f(3)=10 Presupunem ca f nu are proprietatea Darboux.Atunci exista y2∈[1,10] a.i f(x)≠y2
Dar f este o functie de grd 1 deci f este surjectiva, deci ecuatia f(x)=y2 admite solutii deci f are prop Darboux
b) fie [a,b]⊂R Presupunem ca pe acest interval f nu are prop Darboux=>
E yo∈[f(a),f(b)] a.i f(x)≠yo.Imposibil Functia f este surjectiva pe R deci ecuatia f(x)=yo admirte cel putin o solutie.Deci f Are prop Darboux pe ∀[a,b].Nu exista
nici un interval pe R a.i functia sa nu mai aiba prop Darboux
