1) [tex] n^2+10n-19=(n+13)(n-3)+20
[/tex]
[tex] \frac{n^{2}+10n-19}{n+13}= \frac{(n+13)(n-3)+20}{n+13}=n-3+ \frac{20}{n+13} [/tex]
n-3 e numar natural pt n>3, Deci n+13|20. Rezulta n+13=20, deci n=7.
Proba:
[tex] \frac{7^2+10*7-19}{7+13} =100/20=5[/tex] (bomboane a primit fiecare copil)
2) 19a+2*19b+2*29c=2017
19a+2*19b+2*(19+10)c=19a+2*19b+2*19c+20c=2017
19(a+2b+2c)=2017-20c
a,b,c sunt numere naturale, deci 19|2017-20c
Incercam numere prime c.=2,3,5... pana gasim un c astfel incat sa fie satisfacuta egalitatea:
c=2 nu convine
Pt c=3 avem (2017-20*3)/19=103 care este numar natural. Deci c=3 este o solutie pt c.
Inlocuim in relatie c=3 si obtinem:
a+2b+2*3=103
a+2b=97.
Dam valori lui b, nr prime: 2,3,5,7,11,13 etc:
a=97-2b si a trebuie sa fie prim.
Pt b=2 obtinem a=97-4=93 care e divizibil cu 3, deci nu e prim
Pt b= 3 obtinem a =97-6=91 care e divizibil cu 7, deci nu e prim
Pt b=5, a=87 care e nr prim
Pt b=7, a = 83 care e prim
b=11 a= 75 nu e prim
b=13 a=71 e prim etc etc
3)
Este bine sa faci un desen si sa pui pe segmente dimensiunile lor, imediat dupa ce le afli, ca sa vezi mai bine cum sta treaba.
AB=2a=2BC, deci BC=a
Fie MN⊥BC, N∈(BC)
Fie MO⊥AB, O∈(AB)
Fie MP⊥DC, P∈(DC)
Rezulta distanta de la M la AB=MO=BN(pt ca OMNB dreptunghi)
deci BN=2a/5
MP=NC=BC-BN=a-2a/5=3a/5.
Cu teorema li Pitagora in triunghiul MNC obtinem MN=4a/5.
Calculam (cu formula baza*inaltimea/2)
[tex]A_{MDC}= \frac{ \frac{3a}{5}*2a }{2}=\frac{3a^2 }{5} [/tex]
[tex]A_{MBC}= \frac{ \frac{4a}{5}*a }{2}= \frac{2a^2}{5} [/tex]
Cu formula ariei pt triunghiul dreptunghic avem: [tex]A_{BDC}= \frac{2a*a}{2} =a^2[/tex]
Se obs ca Aria lui DMC+Aria lui BMC=Aria lui DBC, deci M∈BD
O sa ma gandesc si la celelalte si iti dau raspunsul
