ax³+bx²+cx+d=(x²+x)(mx+n) +x+1 m,n∈R nu ne intereseaza
ax³+bx²+cx+d=(x²-x)(rx+p) +3x+1 r,p∈R nu ne interseaza
egalitatile de mai sus sunt valabile∀x∈R
avem de determinat 4 necunoscute: a,b.c,d
deci avem nevoie de 4 ecuatii
eler ne-ar putea fi datede cele 2+2 radacini ale polinoamelor impartitor
0 si-1la primul pt ca sunt radacinile ecuatiei x²+x=0
0 si 1 la a l doilea pt ca sunt radacinile ecuatiei x²-x=0
cum o radacina este comuna, vom avea o simpla nederminare
pt x=0, la prima ecuatie avem 0+0+0+d=0(mx+n)+1
deci d=1 (1)
pt x=-1 la prima ecuatie avem
-a+b-c+d=0*(mx+n)-1+1=0 adica
-a+b-c+d=0 sau
b+d=a+c
cu d=1, avem
adica a+c=b+1 (2)
dam acum valoarea 0 in a doua ecuatie obtinem,tot d=1
dam valoarea 1 in a doua ecuatie
a+b+c+d= 0*(rx+p)+3*1+1
adica
a+b+c+d=4 sau, cu d=1
a+b+c=3 (3)
dar din (2) stim ca a+c=b+1
deci b+1+b=3
deci
2b=2
b=1
raman a+c=2 si solutia este nedeterminata (o infinitate de solutii) pt ca am avut 4 necunoscute si o ecuatie
a=a ∈R*; c=2-a; b=d=1
polinomul
este ax³+x²+(2-a)x+1
cel mai simplu poate fi, pt a=1
x³+x²+x+1 verificare vezi atas
dar poate fi si, pt a=2
2x³+x²+1 verificare vezi atach
deci problema este nedeterminata si expresia de mai sus este buna
polinomul este
ax³+x²+(2-a)x+1 unde a∈R* pt. a fi de de gradul 3
