Suntem în mulțimea numerelor naturale, mai puțin {0, 1}.
Avem expresia:
[tex]\it E(n) = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{n-1}[/tex]
Trebuie să aflăm restul împărțirii.
Calculăm, destul de simplu, E(2), E(3), E(4), E(5), E(6)
[tex]\it E(2) = \dfrac{2\cdot3\cdot4}{1} = 24 (restul\ \ e\ \ 0)
\\\;\\ \\\;\\
E(3) = \dfrac{3\cdot4\cdot5}{2} = 30 (restul\ \ e\ \ 0 )
\\\;\\ \\\;\\
E(4) = \dfrac{4\cdot5\cdot6}{3} = 40 (restul\ \ e\ \ 0 )
\\\;\\ \\\;\\
E(5) = \dfrac{5\cdot6\cdot7}{4} = 52 (restul\ \ e\ \ 2 )
\\\;\\
E(6) = \dfrac{6\cdot7\cdot8}{5} = 67 (restul\ \ e\ \ 1 )[/tex]
Lucrurile stau cam nesigure, în sensul că restul oscilează, fără a exista o regulă imediat vizibilă.
Dar, să stăruim:
[tex]\it E(7) = \dfrac{7\cdot8\cdot9}{6} = 84 (restul\ \ e\ \ 0 )
\\\;\\
E(8) = \dfrac{8\cdot9\cdot10}{7} = 102 (restul\ \ e\ \ 6 )
\\\;\\
E(9) = \dfrac{9\cdot10\cdot11}{8} = 123 (restul\ \ e\ \ 6 )
\\\;\\
E(10) = \dfrac{10\cdot11\cdot12}{9} = 146 (restul\ \ e\ \ 6 )
\\\;\\
E(11) = \dfrac{11\cdot12\cdot13}{10} = 171 (restul\ \ e\ \ 6 )
\\\;\\
E(12) = \dfrac{12\cdot13\cdot14}{11} = 198 (restul\ \ e\ \ 6 )
.\\.\\.[/tex]
.
Se pare că ne-am desprins, iar de acum restul va fi, invariabil, 6.
Tot ce am scris mai sus e o activitate
(laborioasă !), dar care se petrece pe o ciornă.
Să folosim informația că pentru n >7 am
obținut, de fiecare dată, restul 6.
Vom efectua :
n(n+1)(n+2) = n³+3n²+2n
Acum intervine restul 6, folosit astfel:
n³+3n²+2n - 6 = n³ - n² + 4n² - 4n + 6n - 6 = n²(n - 1)+ 4n(n - 1) +6(n - 1)=
= (n - 1)(n² + 4n +6).
Expresia inițială se scrie:
[tex]\it E(x)= \dfrac{n^3+3n^2+2n-6+6}{n-1} =
\dfrac{(n-1)(n^2+4n+6)}{n-1}+\dfrac{6}{n-1} \Longrightarrow \\\;\\ \\\;\\
\Longrightarrow E(n) =n^2+4n+6 +\dfrac{6}{n-1} [/tex]
Restul înseamnă, acum, restul obținut de la 6/(n-1).
Așadar, avem:
I) Pentru (n-1) divizor al lui 6, restul este 0.
n-1|6 ⇒ n-1∈{1, 2, 3, 6} |+1 ⇒ n ∈ {2, 3, 4, 7}.
Adică, pentru n ∈ {2, 3, 4, 7} ⇒ restul este 0.
II) Pentru n = 5 ⇒ 6/(n-1) devine 6/4 și restul este 2.
III) Pentru n = 6 ⇒ 6/(n-1) devine 6/5 și restul este 1.
IV) Pentru n > 7 ⇒ 6/(n-1) devine 6/7, 6/8, 6/9, 6/10, ..., iar restul este 6.
