👤

[tex] $\fbox{AM 56 *} Fie f : $ \mathbb_{R} $ \rightarrow \mathbb_{R}$ o functie neconstanta astfel incat \\ pentru orice x \in \mathbb_{R} $ avem $f(x+r\pi) = f(x), (\forall) $ $ r \in \mathbb_{Q}. $ \ Sa se determine \\ multimea punctelor de continuitate ale functiei f. \\ \\ a) \{0\} \quad\quad b) \emptyset \quad\quad c) $ $\mathbb_{R} \quad \quad $ d) $ \mathbb_{Q} \quad\quad $ e) $ \mathbb_{Z} \quad\quad $ f) $ \mathbb_{R} $ $ \backslash \ \{0\}[/tex]

Ajutati-ma va rog.


Răspuns :

Din  datele  problemei  rezultza  ca  egalitatea nu e  adevarata numai  pt r=nr irational 
Vom  utiliza  teorema  lui  Heine .
fie  sirurile  an  si  bn
an=x+π/n   an→x    f(an)=f(x+π/n)=f(x)  conf  ipotezei
bn=x+1/nπ  bn→x  f(bn)=f(x+π/nπ)=f(x+1/n)≠f(x)
Conform  teoremei  enuntate  mai  sus  f  nu  este  continua pe  R
Multimea  punctelor de  continuitate=Ф