a) fie f(x)=arctgx-lnx ; f(x) :R+->R
lim cand x->0 din f(x) =0-(-∞)=∞
lim cand x->∞ din f(x) =π/2-∞=-∞
deci f(x) surjectiva pe R
f'(x) =1/(1+x²)-1/x=x-(1+x²)/(1+x²)= -(x²-x+1)/(1+x²) care este <0, ∀x∈R+, pt ca x²-x+1>0 ,∀x∈R⊃R+
deci functia f(x) este strict descrescatoare pe R+
cum este si surjectiva⇒f(x) bijectiva, ia orice valoare reala o data si numai odata
deci si valoarea 0 o va lua exact o data
adica arctgx-lnx= 0 pt o anumita a valoare a lui x
deci ecuatia arctgx=lnx va avea o solutie si numai una
b) fie functia f(x) :(0;1]=x+lnx
lim x->0 f(x) = 0+ (-∞)=-∞
f(1)=1+ln1= 1+0=1
deci Imaginea lui f(x) = (-∞;1]
f'(x) =1+1/x= (x+1)/x >0 ,∀x∈(0;1]
deci f(x) crescatoare, deci injectiva,deci va lua toate valorile cuprinse intre -∞ si 1 o data si doar o data deci si valoarea 0 va lua o singura data pt x∈(0;1] ⊂[0;1], deci ecuatia x+lnx va avea o singura solutie in intervalul (0.1] ⊂[0;1]
pt x=0 ecuatia nu are sens, deoarece ln x nu exista
