Hello, pentru a rezolva
problema data, incepem prin a cerceta formula termenului general: T(n + 1)
= [tex] C^{k} _{n} [/tex] * [tex] a^{n - k} [/tex] * [tex] b^{k} [/tex]. Acum,
pe noi ne intereseaza ca termenii sa fie rationali, adica sa scapam de radicali,
combinarile mereu o sa fie egale cu un numar intreg, deci rational, deci ne
ramane sa cercetam produsul termenilor.
La noi, a = [tex] \sqrt[3]{2} [/tex] = [tex] 2^{
\frac{1}{3} } [/tex], iar b = [tex] \frac{ \sqrt{2} }{2}[/tex] = [tex] 2^{-
\frac{1}{2} } [/tex], inlocuim in formula termenului general: [tex] 2^{
\frac{1}{3} * (n - k)} * 2^{- \frac{1}{2} * k}[/tex] = [tex] 2^{ \frac{n}{3} -
\frac{5*k}{6}} = 2^{ \frac{2*n - 5*k}{6}} [/tex], acum noi stim ca n = 26,
inlocuim si obtinem: [tex] 2^{ \frac{52 - 5*k}{6}} [/tex].
Acum, pentru ca termenul sa fie rational,
exponentul acestuia trebuie sa fie un numar natural => [tex]\frac{52 -
5*k}{6} [/tex] ∈ N, deci 52 - 5*k este un multiplu al
lui 6, deja aici ne ramane doar sa observam ce primim, pentru diverse valori a
lui k.
k = 0 => 52 - 0 = 52, nu este multiplu al lui
6.
k = 1 => 52 - 5 = 47, nu este multiplu al lui
6.
k = 2 => 52 - 10 = 42, este multiplu al lui 6
=> k = 2 satisface conditiile.
k = 3 => 52 - 15 = 37, nu este multiplu al
lui 6.
k = 4 => 52 - 20 = 32, nu este multiplu al lui 6.
k = 5 => 52 - 25 = 27, nu este multiplu al
lui 6.
Continuii pana la k = 10, deja observi ca asta e
valoarea maxima a lui k, pentru care expresia e inca pozitiva e 10, daca k = 11 => 52 - 55 = - 3 < 0 => Valoarea maxima e 10, deja observi cite cazuri care satisfac conditiile ai si gata!
