fie z scris sub forma trigonometric a
z=m(cosα+isinα) unde prin m am notat modulul
atunci zconjugat= m (cos (-α) _isin (-α))=m (cosα-isin α) si
-zconjugat= m(-cosα+isinα)
z^6= m^6(cos6α+isin6α)=m(-cosα+isinα)
deci egalam modulele m^6=m
m^6-m=0,
m(m^5-1)=0
m(m-1) (m^4+m³+m²+m+1)=0
ecuatiede grad 6. cu exact 2 radacini reale m=0 s m=1
(se popate arat ca m^5-1 este crescatoare si intersecteaz o singura dat axa Ox in m=1)
pt m=0
avem o prima solutie , solutia zuisa banala
z=0
verificare
0conjugat=0, -0conjugat=0
0^6=0, adevarat
pt m=1
trebuie sa egalam si partile reala si imaginara din paranteze
ramane ca sin 6α=sin α
adica sin6α-sinα=0 (1)
si
cos6α=-cosα
adica cos6α+cosα=0 (2)
transformam (1) si (2) in produse ; rezulta
2sin 5α/2 * cos7α/2=0 (3)
si
2cos7α/2*cos5α/2=0 (4)
cum sin5α/2 si cos5α/2 nu pot fi simultan 0
pt a fi simultan adevarate (3) si (4), este necesar ca
cos 7α/2=0
7α/2=(2k+1)*π/2 asa fel incat α∈[0;2π)
7α/2=π/2; 3π/2:5π/2; 7π/2; 9 π/2;11π/2; 13π/2
7α=π; 3π;5π;7π;9π;11π;13π
α=π/7; 3π/7 ;5π/7 ;7π/7=π; 9π/7 ;11π/7; 13π/7
deci z=1(cosα+isin α)
ptca pareau cam multe,(fiind ecuatie de grad 6 ,trebuiau sa rezulte 6 solutii, nu 7 )
am verificat pe cea de la mijloc, pt α=π
cosπ+isinπ=-1
(-1)^6=1
-1conjugat =-1
-(-1)=1
1=1, adevarat
