Hello, pentru a rezolva acest exercitiu, trebuie sa stim ce inseamna: "nu contine pe x in dezvoltarea ...", deci noi trebuie sa gasim un termen ce nu-l contine pe x, ce ar insemna asta? Sa ne gandim la puteri, singura putere pentru care x nu va aparea in termenul binomului va fi 0!
De ce? Deoarece [tex] x^{0}[/tex] = 1.
Acum, incepem rezolvarea, prin scrierea formulei pentru termenul general:
[tex] T_{k + 1} = C^{k}_{n} * a^{n - k} * b^{k}[/tex]
Acum, n este puterea la care se ridica binomul, in cazul nostru 15 => n = 15.
k va fi numarul termenului ce trebuie de aflat, deci va fi o necunoscuta.
a si b vor fi 3*[tex] x^{2}[/tex], respectiv: [tex] \frac{1}{ \sqrt[4]{x2}}[/tex]. Pentru comoditate, putem sa-l aducem pe b, la o forma mai simpla:
b = [tex] \frac{1}{ \sqrt[4]{x2}}[/tex] <=>
b = [tex] \frac{1}{ \sqrt[2]{x}}[/tex] <=>
b = [tex] \frac{1}{ \x^{\frac{1}{2}}}[/tex] <=>
b = [tex] x^{- \frac{1}{2}}[/tex]
Acum, revenim la formula termenului general al binomului, la moment nu avem nevoie de combinari, deoarece il studiem doar pe x, deci continuam doar cu a si b:
[tex] ((3*x)^{2})^{15 - k} * ( x^{- \frac{1}{2}})^{k}[/tex] = [tex] 3^{15 - k}[/tex] * [tex] x^{2 * (15 - k)} * x^{- \frac{k}{2}}[/tex] = [tex] 3^{15 - k}[/tex] * [tex] x^{30 - 2*k - \frac{k}{2}} [/tex] = [tex] x^{30 - \frac{5}{2} * k}[/tex], acum noi stim ca x trebuie sa fie egal cu 0, deci egalam puterea lui x cu 0:
30 - [tex] \frac{5}{2} * k[/tex] = 0 <=> [tex] \frac{5}{2} * k[/tex] = 30 <=> k = 12.
Raspuns: Al 13-lea termen.
P.S. Daca ai nevoie de termen(nu de rangul acestuia, pur si simplu calculeaza-l!)
Daca ai intrebari, scrie in comentarii!
