1.
a) AB+BC+CD+DE+EA=600+600+600+600+600=3000 m
b) MO=AB/2=300m
OQ=MO-ME/3=300-DE√3/6=300-600√3/6
OQ=100(3-√3)
1,73<√3<1,74
-1,73>-√3>-1,74
3-1,73>3-√3>3-1,74
1,27>3-√3>1,26
127>100(3-√3)>126 ⇒ OQ=100(3-√3)<127
c)
OQ=100(3-√3)
OE=QE-OQ=2ME/3 - OQ=2DE√3/6 - OQ=2*600√3/6 - 100(3-√3)
OE=300(√3 - 1)
QN=DN/3=AD√3/6=100√3
NE=AE/2=300
OQ/OE=(3-√3)/3*(√3-1)=√3/3 (1)
QN/NE=100√3/300=√3/3 (2)
din (1) si (2) avem reciproca teoremei bisectoarei ceea ce ne spune ca NO este bisectoarea unghiului DNE de 90 grade si in concluzie ∡ONE=45°
urmeaza problema 2.
a)
din ipoteza se intelege ca latura bazei este egala cu muchia laterala
diagonala bazei
d=AB√2
d=8
VO=√(VA^2 - AO^2)=√(32-16)
VO=4
b)PN e linie mijlocie in tr.AVD deci PN║VA
dar PN⊂(MNP) si prin urmare PN║(MNP) vezi conditia ca o dreapta sa fie paralela cu un plan
c)
PO e linie mijlocie in tr. VDB, PO=VB/2=2√2
MO e linie mijlocie in tr. ADB, MO=AD/2=2√2
din cele 2 relatii rezulta ca tr. PMO e isoscel si prin urmare OQ e mediana si inaltime
OQ⊥PM
din P ducem o paralela la BD pana intersecteaza VB in P' si unim P' cu M
observam ca PP'║BD║MN si MP'║AV║PN (vezi linii mijlocii)
prin urmare MNPP' este paralelogram in care diagonalele PM si NP' se injumatatesc
MQ=QP si NQ=QP'
OP'=VD/2=2√2 si ON=AB/2=2√2
prin urmare triunghiul ONP' este isoscel deci OQ este mediana si inaltime
OQ⊥NP'
dar am aratat mai sus ca OQ⊥MP deci OQ e perpendiculara pe doua drepte concurente din planul MNPP' deci:
OQ⊥(MNPP') ⇒ OQ⊥(MNP) deoarece (MNP)⊂(MNPP')
