a)
Notăm AA' = AC =a
[tex]\it \mathcal{A}_t = \mathcal{A}_{\ell} +2\cdot\mathcal{A}_b =3a^2+2\cdot\dfrac{a^2\sqrt3}{4} = 3a^2+\dfrac{a^2\sqrt3}{2}= \\\;\\ \\\;\\ = a^2\left(3+\dfrac{\sqrt3}{2}\right) = a^2\cdot \dfrac{6+\sqrt3}{2} \ \ \ \ (1) \\\;\\ \\\;\\ Dar, \ \mathcal{A}_t = 18(6+\sqrt3) \ \ \ \ (2)[/tex]
[tex]\it Din\ \ (1),\ (2) \Longrightarrow a^2\cdot \dfrac{6+\sqrt3}{2}=18(6+\sqrt3) \Longrightarrow a^2 = 36 \Longrightarrow a=6[/tex]
Deci, AC = a = 6 cm
b) Două plane sunt perpendiculare dacă un plan conţine o dreaptă perpendiculară pe celălalt plan .
[tex]\rm AA' \perp(ABC)\ \ \ \ (3) \\\;\\ BP \subset(ABC) \ \ \ (4) \\\;\\ (3),\ (4) \Longrightarrow AA' \perp BP \Longrightarrow BP \perp AA' \ \ \ \ (5) \\\;\\ BP\ este \ median\u{a}\ \^{ i}n \ triunghiul\ ABC-\ echilateral \ \Rightarrow [/tex]
[tex] \rm \Rightarrow \ BP-\ \^{ i}n\u{a} l\c{t} ime \Rightarrow BP\perp AC\ \ \ \ (6), \ \ \ iar\ AA' \cap AC =\{A\}\ \ \ (7)[/tex]
Din relațiile (5), (6), (7) ⇒ BP ⊥ (A'AC)
Dar, planul (A'AC) coincide cu planul (APC'), deci BP ⊥ (APC')
Deoarece BP ⊂ (PBC'), se obține : (PBC') ⊥ (APC')
c)
În triunghiul C'CP, dreptunghic în C, ducem înățimea CF, cu F pe C'P.
Demonstrăm că d[C, (BPC')] = C'P
BP ⊥ (A'AC) și CF ⊂ (A'AC) ⇒ BP ⊥ CF ⇒ CF ⊥ BP (8)
CF⊥C'P (9)
C'P ∩ BP = {P} (10)
Din relațiile (8), (9), (10) ⇒ CF ⊥ (BPC').
CF este înălțime corespunzătoare ipotenuzei în triunghiul C'CP.
Cu teorema lui Pitagora se determină C'P = 3√5 cm.
CF = (C'C · CP)/C'P = (6·3)/3√5 =6/√5 = 6√5/5
Așadar, d[C, (BPC')] = CF = 6√5/5 cm
