Daca AD=AE, atunci triunghiul ADE este isoscel. Ducem bisectoarea din triunghiul ADE corespunzatoare unghiului A,notam intersectia cu latura DE cu litera F. Obtinem doua unghiuri de marime egala:
[tex]\angle{DAF}=\angle{EAF}[/tex]
Stim ca bisectoarea corespunzatoare unghiului adiacent laturilor congruente este si inaltime intr-un triunghi isoscel. Atunci stim ca
[tex]\angle{AFD}=\angle{AFB}=\angle{AFC}=\angle{AFE}=90[/tex] deci obtinem 2 triunghiuri dreptunghice: AFB si AFC
Apoi, stim ca bisectoarea si inaltimea AF este si mediana intr-un triunghi isoscel precum ADE. Atunci stim ca DF=EF
Atunci avem urmatoarea relatie: BF=BD+DF=EC+EF=CF.
Deci avem relatiile
1)AFB si AFC triunghiuri dreptunghice cu unghiul F=90 grade
2)AF latura comuna
3)FB=CF
Atunci avem un caz de congruenta de triunghiuri dreptunghice cazul CC(cateta cateta) de unde rezulta ca si ipotenuzele triunghiurilor sunt egale: AB=AC, de unde rezulta ca ABC este isoscel
