Ducem inaltimila AE si DF ale trapezului.Se formeaza triunghiurile dreptunghice AEB si DFC Stiind ca trapezul este isoscel, rezulta atunci ca:
1)AB-CD
2)[tex]\angle{ABC}=\angle{DCF}=45[/tex]
Dar mai vedem ca unghiurile respective fac parte si din triunghiurile dreptunghice, iar un triunghi dreptunghic care are un unghi de 45 grade este un triunghi dreptunghic isoscel. Deci rezulta ca AEB este dreptunghic, cu AE=EB, DFC dreptunghic cu DF=FC AE si DF sunt inaltimile trapezului, si stim ca inaltimile oricarui trapez sunt congruente, atunci avem AE=DF, adica si EB=CF
Intr-un triunghi dreptunghic isoscel, ipotenuza este egala cu cateta inmultita cu radical din 2. se poate arata usor asta si pentru noi din teorema lui Pitagora pentru triunghiul dreptunghic AEB
[tex]AB^{2}=AE^{2}+EB^{2}=2EB^{2}\Rightarrow AB=EB\sqrt{2}[/tex]
Vedem ca cele 2 inaltimi formeaza cu baza mica si cu segmentul de jos un dreptunghi ADFE, unde AD=EF
Deci putem scrie
[tex]BC=EB+EF+CF=EF+2EB\Rightarrow EB=\frac{BC-EF}{2}=\frac{18-6}{2}=\frac{12}{2}=6[/tex]
De unde rezulta ca
[tex]AB=EB]sqrt{2}=6\sqrt{2}[/tex]
Dar din faptul ca e triunghi isoscel, stim ca AB=CD. Atunci perimetrul este:
[tex]P_{ABCD}=AD+BC+2AD=16+8+2*6\sqrt{2}=24+12\sqrt{2}=12(2+\sqrt{2})[/tex]
b) DFB este un triunghi dreptunghic cu catetele DF si BF
BF=EB+EF=6+6=12
Atunci putem sa calculam tangenta unghiului DBF
[tex]\tan{DBF}=\frac{DF}{BF}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}[/tex]
trapezul fiind isoscel, atunci diagonalele sunt egale: AC=BD, si in intersectia lor vor fi tot congruente OB=OC, atunci avem OBC triunghi isoscel, si inaltimea OM va fi si mediana in acelasi timp. Atunci avem
[tex]BC=2BM\Rightarrow BM=\frac{BC}{2}=\frac{18}{2}=9[/tex]
Observam ca avem si unghiul in B acelasi cu cel din triunghiul DBF deci avem
[tex]\angle{OBM}=\angle{DBF}\Rightarrow \tan{OBM}=\frac{OM}{BM}=\tan{DBF}=\frac{1}{2}\Rightarrow OM=\frac{BM}{2}=\frac{9}{2}[/tex]
