[tex] \frac{2!}{0!} + \frac{3!}{1!}+ \frac{4!}{2!}+...+ \frac{(n+1)!}{(n-1)!}= \frac{n(n+1)(2n+1)}{3}[/tex]
Membrul stâng se poate scrie ca o sumă, motiv pentru care îl luăm separat.
[tex]\frac{2!}{0!} + \frac{3!}{1!}+ \frac{4!}{2!}+...+ \frac{(n+1)!}{(n-1)!}=\sum\limits^{n}_{k=1} {} \frac{(k+1)!}{(k-1)!} [/tex]
Descompunem factorialul de la numărător în funcție de cel de la numitor.
[tex]\sum\limits^{n}_{k=1} \frac{(k+1)!}{(k-1)!}\ = \sum\limits^{n}_{k=1} \frac{(k-1)! \cdot k \cdot (k+1)}{(k-1)!}[/tex]
Se simpifică (k-1)! cu (k-1)! și rezultă:
[tex]\sum\limits^{n}_{k=1} \frac{(k-1)!\cdot k \cdot (k+1)}{(k-1)!}=\sum\limits^{n}_{k=1} k(k+1)=\sum\limits^{n}_{k=1}(k^2+k)=\sum\limits^{n}_{k=1} k^2+\sum\limits^{n}_{k=1}k[/tex]
Pentru fiecare dintre cele două sume avem formule. Prima reprezintă suma pătratelor primelor n numere naturale, iar a doua este suma lui Gauss.
Deci:
[tex]\sum\limits^{n}_{k=1} k^2+\sum\limits^{n}_{k=1}k= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} [/tex]
Îl dăm factor compun pe [tex] \frac{n(n+1)}{2} [/tex] și rezultă că:
[tex]\frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2}= \frac{n(n+1)}{2}\cdot ( \frac{2n+1}{3} +1)=\frac{n(n+1)}{2}\cdot \frac{2n+4}{3}[/tex]
În a doua fracție îl dăm factor comun pe 2, care se va simplifica cu 2-ul de la numărătorul primei fracții.
[tex]\frac{n(n+1)}{2} \cdot \frac{2n+4}{3}=\frac{n(n+1)}{2} \cdot 2 \cdot \frac{n+2}{3}=n(n+1) \cdot \frac{n+2}{3}= \frac{n(n+1)(n+2)}{3} [/tex]
Și după cum observi, dă exact ceea ce ne cere în problemă să demonstrăm.
