Orice pătrat perfect poate avea ultima cifră doar 0,1, 4, 5, 6, 9.
[tex]a=5^n+7[/tex] nu poate fi pătrat perfect, deoarece ultima ciftă nu este una dintre cele menționate.
Explicație:
[tex]5^n[/tex] are ultima cifră 5, oricare ar fi n∈N/{0}.
De exemplu:
[tex]5^1=5~~~~~~~~~~,are~ultima~cifra~5\\\\
5^2=25~~~~~~~~,are~ultima~cifra~5\\\\
5^3=125~~~~~~~,are~ultima~cifra~5 [/tex]
Și așa mai departe.
Deci [tex]a=5^n+7[/tex] va fi un suma unui număr care se termină în 5 și 7. Iar orice astfel de număr are ultima cifră 2, care nu se regăsește printre 0,1, 4, 5, 6, 9.
Exemple:
[tex]5^1+7=12~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~,are~ultima~cifra~2\\\\ 5^2+7=25+7=32~~~~~~~~,are~ultima~cifra~2\\\\ 5^3=125+7=132~~~~~~~~~~,are~ultima~cifra~2[/tex]
Și așa mai departe.
Sigurul caz diferit este pentru n=0, când [tex]a=5^n+7=5^0+7=1+7=8[/tex], care de asemenea nu este pătrat perfect.
