presupunem ca E se afla pe BB1 si F pe CC1
BB1 este inaltime in triunghi, asta inseamna ca BB1 este perpendiculara pe AC adica
[tex]\angle{BB_{1}A=\angle{EB_{1}A}=90}[/tex] rezulta ca triunghiul AB1E este dreptunghic si celelalte 2 unghiuri sunt complementare intre ele si fac 90 de grade
[tex]\angle{B_{1}AE}+\angle{AEB_{1}}=90[/tex] dar stim ca AE este bisectoarea unghiului A, atunci
[tex]\angle{B_{1}AE}=\angle{BAE}=\frac{BAC}{2}=\frac{60}{2}=30[/tex]
Atunci avem
[tex]30+\angle{AEB_{1}}=90\Rightarrow \angle{AEB_{1}}=90-30=60[/tex]
Stim ca E este si intersectia dreptelor AF si BB1, atunci intervine regula unghiurilor opuse la varf care sunt egale egale
[tex]\angle{AEB_{1}}=\angle{HEF}=60[/tex](1) prima relatie importanta
acum ne uitam la triunghiul AC1F stim ca F face parte din CC1 si CC1 este perpendiculara pe AB, atunci si FC1 este perpendiculara pe AB, adica
[tex]\angle{AC1F}=90[/tex] este triunghi dreptunghic, restul de 2 unghiuri sunt complementare si fac 90 de grade si cunoastem unul dintre ele pentru ca E si F sunt pe bisectoare ambele
[tex]\angle{BAE}=\angle{BAF}=\angle{FAC_{1}=30[/tex]
iar relatia de complementaritate este
[tex]\angle{FAC_{1}+\angle{AFC_{1}}=90\Rightarrow \angle{AFC_{1}}=90-30=60[/tex]
Dar pentru ca E este pe aceeasi semidreapta ca A, si H pe C1 avem
[tex]\angle{AFC_{1}}=\angle{EFH}=60[/tex](2) a doua relatie importanta
din cele 2 relatii reiese ca triunghiul EHF este isoscel cu 2 unghiuri congruente. Dar din faptul ca stim ca si unghiurile sunt egale cu 60, atunci stim ca este de fapt un triunghi echilateral.
