Ne folosim de relatiile
[tex]r_{a}=\frac{S}{p-a}[/tex]
[tex]r_{b}=\frac{S}{p-b}[/tex]
[tex]r_{c}=\frac{S}{p-c}[/tex]
[tex]r=\frac{S}{p}[/tex]
unde [tex]p=\frac{a+b+c}{2}[/tex]
Le adunam pe primele 3 si o scadem pe ultima. Notam toata aceasta operatie cu X
[tex]r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=X=S(\frac{1}{p-a}+\frac{1}{p-b}+\frac{1}{p-c}-\frac{1}{p})=S(\frac{p-b+p-a}{(p-a)(p-b)}+\frac{p-(p-c)}{p(p-c)})=S(\frac{2p-(a+b)}{(p-a)(p-b)}+\frac{c}{p(p-c)})[/tex]
Dar stim ca
[tex]2p=a+b+c\Rightarrow 2p-(a+b)=c[/tex] atunci relatia devine
[tex]X=S(\frac{c}{(p-a)(p-b)}+\frac{c}{p(p-c)})=Sc\frac{p(p-c)+(p-a)(p-b)}{p(p-a)(p-b)(p-c)}[/tex]
Dar ne aducem aminte din teorema lui Heron ca
[tex]S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\Rightarrow S^{2}=p(p-a)(p-b)(p-c)[/tex]
ne uitam si la partea de sus a fractiei
[tex]p(p-c)+(p-a)(p-b)=p^{2}-pc+p^{2}-p(a+b)+ab=2p^{2}-p(a+b+c)+ab=2p^{2}-p*(2p)+ab=ab[/tex]
Deci ecuatia devine
[tex]X=Sc*\frac{ab}{S^{2}}=\frac{abc}{S}[/tex]
Dar stim si formula pentru raza cercului circumscris
[tex]R=\frac{abc}{4S}\Rightarrow 4R=\frac{abc}{S}[/tex] din cele doua relatii rezulta ca
[tex]X=4R\Rightarrow r_{a}+r_{b}+r_{c}-r=4R\Rightarrow r_{a}+r_{b}+r_{c}=4R+r[/tex]
