Notam cu O proiectia varfului piramidei V pe planul ABC.
Stiind ca este o piramida, inseamna ca VA=VB=VC si VO este inaltimea piramidei, inseamna ca se formeaza triunghiurile dreptunghice VOA,VOB,VOC care au cate o cateta si ipotenuza egale. Asta inseamna ca cele trei triunghiuri sunt congruente, deci si ultimele catete sunt congruente: OA,OB si OC. Asta inseamna ca O este centrul cercului circumscris ABC, iar OA este raza cercului circumscris
stim ca raza cercului circumscris are formula
[tex]OA=R=\frac{AB*AC*BC}{4S}[/tex]
stim ca ABC este isoscel, daca ducem inaltimea corespunzatoare lui B pe latura AC, si o notam cu D, atunci BD este atat inaltimea triunghiului, cat si mediana acestuia, deci D este la mijlocul laturii AC,
[tex]AD=CD=\frac{AC}{2}=\frac{12}{2}=6[/tex] ABD triunghi dreptunghic in unghiul D, catetele BD si AD, ipotenuza AB, putem afla inaltimea BD din teorema lui Pitagora
[tex]BD^{2}+AD^{2}=AB^{2}\Rightarrow BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8[/tex]
Putem afla aria triunghiului acum baza*inaltimea pe 2
[tex]S=\frac{BD*AC}{2}=\frac{8*12}{2}=48[/tex]
Atunci putem afla raza R
[tex]R=OA=\frac{AB*AC*BC}{4*S}=\frac{10*10*12}{4*48}=\frac{25}{4}[/tex]
VOA este triunghi dreptunghic cu unul dintre unghiuri de 45 grade. Inseamna ca este triunghi dreptunghic isoscel cu catetele congruente VO=OA.
Atunci din teorema lui Pitagora stim ca
[tex]VA=OA\sqrt{2}=\frac{25\sqrt{2}}{4}[/tex]
