ABC isoscel, inseamna ca si unghiurile sunt congruente
[tex]\angle{ABC}=\angle{ACB}[/tex](1)
Stim ca dreptele BT si CT sunt perpendiculare pe AB si AC, atunci
[tex]\angle{ABT}=\angle{ACT}=90[/tex](2)
Dar unghiurile respective sunt sume de unghiuri individuale
[tex]\angle{ABT}=\angle{ABC}+\angle{CBT}[/tex]{3}
[tex]\angle{ACT}=\angle{ACB}+\angle{BCT}[/tex]{4}
Din cele 4 relatii rezulta ca cele 2 unghiuri din BCT sunt congruente
[tex]\angle{CBT}=\angle{BCT}[/tex] adica triunghiul BCT este isoscel
stabilim D mijlocul laturii BC. Ducem medianele AM din triunghiul ABC, si TD din triunghiul BCT
ABC este isoscel, atunci AM este si mediana si inaltime in triunghi,AM perpendiculara pe BC deci
[tex]\angle{ADB}=90[/tex]
BCT este isoscel, atunci TD este si mediana si inaltime in triunghi,TD perpendiculara pe BC deci
[tex]\angle{BDT}=90[/tex]
Daca le adunam pe cele doua obtinem
[tex]\angle{ADB}+\angle{BDT}=\angle{ADT}=90+90=180[/tex] ceea ce inseamna fie ca segmentele AD si DT sunt paralele, fie punctele A,D si T sunt coliniare.
dar stim ca cele 2 segmente au punctul comun D, inseamna ca nu pot fi paralele, deci A,D,T sunt coliniare.
Deci D mijlocul lui BC apartine dreptei AT care este si perpendiculara pe BC, inseamna ca AT este mediatoarea lui BC
