👤
a fost răspuns

Aratati ca numarul a=(y+2)³-y-2 este dibizibil cu 3, oricare ar fi y apartine lui N

Răspuns :

OILOVEYOUOEZ
a = (y+2)³ - y - 2

a = y³ + 3·2y² + 3·2²·y + 2³ - y - 2

3·2y² ~ multiplu de 3

3·2²·y ~ multiplu de 3

a = y³ + M₃ + M₃ + 8 - y - 2

a = y³ +  M₃  + 6 - y

6 ~ multiplu de 3

a = y³ +  M₃ +  M₃  - y

a = y³ - y +  M₃ 

Luam cele 3 cazuri:

1) y = M₃ ⇒ a =  M₃ -  M₃  +  M₃  =  M₃ 


2) y =  M₃ + 1

a = (M₃ + 1)³ - (M₃ + 1) + M₃

a = M₃ + 1³ - M₃ - 1 + M₃

a = M₃ + 1 - 1

a = M₃

3) y = M₃ + 2

a = (M₃ + 2)³ - (M₃ + 2) + M₃

a = M₃ + 2³ - 2 + M₃

a = M₃ + 8 - 2

a = M₃ + 6

a = M₃ + M₃

a = M₃

..........

Pentru ca in toate cazurile a = M₃ ⇒ a = M₃, ∀y∈N
ALBATRANEZ
(y+2) ((y+2)²-1)=

(y+2) (y²+4y +4-1)=(y+2)(y²+4y+3)= (y+2) (y+3) (y+1)=(y+1) (y+2) (y+3)
d[pdv al divizibilitatii cu 3 un nr nu poate fi decat de una din formele
3k , unde k∈N, si atunci divizibil; cu 3 este 3k+3=3(k+1)
3k+1 si atunci diviz\ibilcu 3 este y+2=3k+1+2=3k+3
3k+2 si atunci divizibil cu 3 este factorul y+1=3k+2+1= 3k+3
deci in oricare din variante cel putin unul din factorii expresiei este divizibil cu 3,deci expresia este divizibila cu 3, ∀y∈N

alfel spus,  produsul a 3 nr. nat. succesive este divizibil cu 3
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile și inspiraționale. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, suntem aici pentru a vă ajuta. Ne face plăcere să vă revedem și vă invităm să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid!


Ez Studiers: Alte intrebari