[tex]f(x)=\sqrt{x}+\ln{x}\\\\
g(x)= \dfrac{ \sqrt{x} -2} {2x} [/tex]
a) [tex] \int\limits^4_1 {f(x)\cdot g(x)} \, dx = ?[/tex]
Când îți dă să calculezi integrală din două funcții înmulțite care par complicate este posibil ca una să fie derivata celeilalte, motiv pentru care încerc să verific acest lucru. De-asta, îl derivez pe f(x) să văd dacă observ vreo legătură între cele două.
[tex]f'(x)= (\sqrt{x} +\ln{x})'=(\sqrt{x})' +(\ln{x})'= \dfrac{1}{2 \sqrt{x} } + \dfrac{1}{x} [/tex]
Aducem la numitor comun (și anume 2x), motiv pentru amplific prima fracție cu [tex] \sqrt{x} [/tex] și a doua fracție cu 2.
Deci:
[tex]f'(x)= \dfrac{ \sqrt{x} } {2 \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} }+ \dfrac{2}{2x} = \dfrac{ \sqrt{x} +2}{2x} [/tex]
Observăm că presupunerea de la care am plecat a fost corectă, și anume:
[tex]f'(x)=g(x)[/tex]
De aici rezultă că:
[tex]\int\limits^4_1 {f(x)\cdot g(x)} \, dx =\int\limits^4_1 {f(x)\cdot f'(x)} \, dx[/tex]
Pentru a calcula această integrală aplicăm următoarea formulă de la integrarea funcțiilor compuse:
[tex] \int{u(x)\cdot u'(x)} \, dx = \cfrac{u^2(x)}{2} [/tex]
Deci:
[tex]\int\limits^4_1 {f(x)\cdot f'(x)} \, dx= \cfrac{f^2(x)}{2}~\Big|^4_1 [/tex]
Înlocuind cu f(x) rezultă:
[tex]\int\limits^4_1 {f(x)\cdot f'(x)} \, dx= \cfrac{(\sqrt{x}+\ln{x})^2}{2} ~\Big|^4_1= \cfrac{(\sqrt{4}+\ln{4})^2}{2}- \cfrac{(\sqrt{1}+\ln{1})^2}{2}\\\\
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \dfrac{(2+\ln{4})^2-(1+0)^2}{2} = \dfrac{\ln^2{4}+4\ln{4}+3}{2} [/tex]
b) La fel ca la punctul a, ne legăm de relația [tex]f'(x)=g(x)[/tex]. Derivând membrul stâng și membrul drept rezultă că [tex]f''(x)=g'(x)[/tex].
Deci, putem scrie că:
[tex]\int\limits^4_1 {g(x)\cdot f''(x)} \, dx=\int\limits^4_1 {g(x)\cdot g'(x)} \, dx
= \dfrac{g^2(x)}{2}~ \Big|^1_4[/tex]
Înlocuim pe g(x):
[tex]\dfrac{g^2(x)}{2}~ \Big|^1_4=\dfrac{\bigg(\dfrac{ \sqrt{x} -2} {2x}\bigg)^2}{2}~ \Bigg|^1_4= \dfrac{ (\sqrt{x}-2)^2 }{8x^2} ~ \Bigg|^4_1= \dfrac{ (\sqrt{4}-2)^2 }{8\cdot4^2} - \dfrac{ (\sqrt{1}-2)^2 }{8\cdot 1^2} = \\\\ \dfrac{0^2}{8\cdot 16} - \dfrac{(-1)^2}{8} =0- \dfrac{1}{8}=- \dfrac{1}{8}[/tex]
Sper că nu am greșit la calcule.
