Avem sistemul :
[tex]\it \begin{cases}x+y+z=1\\\ \\
\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z} =1 \\\;\\
xy+yz+zx=-4\end{cases}[/tex]
În a doua ecuație, aducem la același numitor membrul din stânga și obținem:
[tex]\it \dfrac{yz+xz+xy}{xyz} =1 \Leftrightarrow \dfrac{xy+yz+zx}{xyz} =1 [/tex]
Numărătorul ultimei ecuații este egal cu -4, de la a treia ecuație a sistemului.
Vom avea:
[tex]\it \dfrac{-4}{xyz} =1 \Leftrightarrow xyz =-4[/tex]
Deci am arătat punctul b).
Acum, sistemul devine:
[tex]\it \begin{cases}\it x+y+z=1 \\\;\\ \it xy+yz+zx=-4 \\\;\\
\it xyz = -4\end{cases} [/tex]
Cele trei ecuații reprezintă relațiile lui Viète pentru soluțiile ecuației:
t³ - t² - 4t + 4 = 0
Vom rezolva această ecuație:
t³ - t² - 4t + 4 = 0 ⇔ t²(t-1) - 4(t-1)=0 ⇔ (t-1)(t²-4) =0 ⇔ (t-1)(t-2)(t+2) =0
t + 2 = 0 ⇒ t₁ = -2
t + 1 = 0 ⇒ t₂ = -1
t - 2 = 0 ⇒ t₃ = 2
Am rezolvat astfel punctul a)
c) Sistemul dat este omogen, iar o soluție este dată de soluțiile
ecuației rezolvate la punctul a).
Mulțimea soluțiilor sistemului este:
S = {(-2, 1, 2), (-2, 2, 1), (1, -2, 2), (1, 2, -2), (2, 1, -2), (2, -2, 1)}
Așadar, sistemul are 6 soluții.
