[tex]a^2+b^2+c^2 \geq ab+bc+ac[/tex]
Trecem totul în membrul stâng:
[tex]a^2+b^2+c^2-( ab+bc+ac) \geq0\\\\a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac \geq0[/tex]
Înmulțim toată inegalitatea cu 2.
[tex]a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac \geq0 \big/ \cdot2\\\\
2(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac) \geq0\\\\
2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac \geq 0[/tex]
Iar acum încercăm să grupăm termenii astfel încât să formăm pătrate perfecte. Pentru asta, vom începe prin a lua un [tex]a^2[/tex] de la [tex]2a^2[/tex] pe care îl vom grupa cu un [tex]b^2[/tex] luat de la [tex]2b^2[/tex] şi cu [tex]-2ab[/tex].
[tex](a^2+b^2-2ab)+a^2+b^2+2c^2-2bc-2ac \geq 0[/tex]
Vom repeta procesul, grupând [tex]b^2[/tex], [tex]c^2[/tex]
şi [tex]-2bc[/tex], respectiv [tex]a^2[/tex], [tex]c^2[/tex] şi [tex]-2ac[/tex], de unde rezultă:
[tex](a^2+b^2-2ab)+(b^2+c^2-2bc)+(a^2+c^2-2ac) \geq 0[/tex]
După cum poţi observa, fiecare paranteză se restrânge într-un pătrat perfect.
[tex](a-b)^2+(b-c)^2+(a-c)^2 \geq 0[/tex]
Această afirmație este adevărată, întrucât este o suma a trei pătrate, iar noi știm că orice număr la pătrat este mai mare sau egal cu 0, deci și suma lor va fi mai mare sau egală cu 0.
