Stim ca in general media geometrica este mai mica sau egala decat media aritmetica deci pentru 2 numere x,y avem
[tex]m_{g}\leq m_{a}\Rightarrow \sqrt{x*y}\leq \frac{x+y}{2}[/tex]
in cazul nostru stim ca
[tex]a_{1}+a_{2}+..+a_{n}=1\Rightarrow a_{2}+a_{3}+..+a_{n}=1-a_{1}[/tex]
ceea ce observam ca este primul radical din suma
[tex]\sqrt{a_{1}(a_{2}+a_{3}+..+a_{n})}=\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}[/tex]
Atunci suma din stanga arata
[tex]\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}+\sqrt{a_{2}(1-a_{2})}+..+\sqrt{a_{n}(1-a_{n})}[/tex]
Daca aplicam inegalitatea de mai sus pentru fiecare dintre radicali obtinem
[tex]\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}=\frac{a_{1}+1-a_{1}}{2}\leq \frac{1}{2}[/tex]
[tex]\sqrt{a_{2}(1-a_{2})}=\frac{a_{2}+1-a_{2}}{2}\leq \frac{1}{2}[/tex]
-----------------------------------------------------------------------------------
[tex]\sqrt{a_{n}(1-a_{n})}=\frac{a_{n}+1-a_{n}}{2}\leq \frac{1}{2}[/tex]
Daca adunam cele n relatii de mai sus rezulta ca
[tex]\sqrt{a_{1}(1-a_{1})}+\sqrt{a_{2}(1-a_{2})}+..+\sqrt{a_{n}(1-a_{n})}\leq \frac{1}{2}+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{2}=\frac{n}{2}[/tex]
