f(x) = x³ + 2x² + x
a) f'(x) = 3x² + 4x + 1 = 3x² + 3x + x + 1 = 3x(x + 1) + (x +1) = (x + 1)(3x+1)
b) [tex]\it \lim_{x\to\infty} \dfrac{f(x)}{x f'(x)} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{x^3+2x^2+x}{x (3x^2+4x+1)} =
\\\;\\ \\\;\\
= \lim_{x\to\infty} \dfrac{ x(x^2+2x+1)}{x (3x^2+4x+1)} = \lim_{x\to\infty} \dfrac{x^2+2x+1}{3x^2+4x+1} = \dfrac{1}{3} [/tex]
c) f'(x) = 3x² + 4x + 1 = (x + 1)(3x + 1)
f'(x) = 0 ⇒ x₁ = -1, x₂ = -1/3
Din tabelul de variație a funcției ⇒ x= -1/3 este punct de minim absolut
pe intervalul [-1, ∞), iar f(-1/3) = -4/27) ⇒ f(x) ≥ -4/27, ∀ x∈[-1, ∞)
