D este punct pe segmentul AB. Rezulta ca
[tex]AD+DB=AB[/tex] si mai stim ca
[tex]\frac{AD}{DB}=\frac{1}{2}\Rightarrow AD=\frac{DB}{2}[/tex]
asadar rezulta
[tex]\frac{DB}{2}+DB=AB\Rightarrow \frac{3DB}{2}=AB\Rightarrow DB=\frac{2AB}{3}[/tex](1)
E este punct pe segmentul AC. Rezulta ca
[tex]AE+EC=AC=AB[/tex] si mai stim ca
[tex]\frac{AE}{AB}=\frac{1}{3}\Rightarrow AE=\frac{AB}{3}[/tex] deci va rezulta
[tex]\frac{AB}{2}+EC=AB\Rightarrow EC=AB-\frac{AB}{3}\Rightarrow EC=\frac{2AB}{3}[/tex](2)
Din 1 si 2 rezulta ca
[tex]DB=EC[/tex]
acum ducem latura BC a triunghiului ABC. Stiind ca AB=AC rezulta ca ABC este triunghi isoscel adica
[tex]\angle{BAC}=\angle{ACB}[/tex](3)
Acum ne uitam la triunghiurile formate BCD si BCE. Observam ca
au latura comuna BC
au doua alte laturi congruente DB=EC
au unghiul dintre aceste doua laturi congruente cum e scris la (3)
Rezulta atunci ca avem un caz de congruenta de triunghiuri caz LUL(latura unghi latura) de unde rezulta ca si laturile ramase ale triunghiurilor sunt congruente adica CD=BE
