În manualul de clasa a VII-a, editura Teora, autori Dana Radu, Eugen Radu,
la capitolul "Relații metrice în triunghiul dreptunghic", avem
reciproca teoremei înălțimii.
Ipoteză: ABC -triunghi, AD ⊥ BC, D∈ BC, AD² = BD·DC
Concluzia: m(∡BAC) = 90°
În cazul problemei date , rezultă :
NQ = 6cm, QP = 30 - 6 = 24 cm
NQ · QP = 6·24 = 144 =12² =MQ²
Așadar, avem :
MNP - triunghi, MQ ⊥ NP, Q ∈ NP, MQ² = NQ · QP
Din reciproca teoremei înălțimii ⇒ m(∡NMP) = 90°
---------------------------------------------------------------------
Problema poate fi abordată și cu ajutorul funcțiilor trigonometrice.
tgN = 12/6 = 2
ctgP = 24/12 = 2
Dar ctgx = tg(90° -x).
Prin urmare, unghiurile N și P sunt complementare, deci m(∡NMP) = 90°
___________________________________________________________
O altă abordare, folosind asemănarea triunghiurilor QPM și QMN, conduce la
m(∡QPM) = m(∡QMN)
m(∡QMP) = m(∡QNM)
Aplicăm suma măsurilor unghiurilor triunghiului MNP și rezultă m(∡NMP) = 90°.
