[tex]\it (2+\sqrt3)^x+(2-\sqrt3)^x=14[/tex]
Expresiile care apar în paranteze sunt conjugate, prin urmare avem:
[tex]\it 2-\sqrt3=(2-\sqrt3)\cdot\dfrac{2+\sqrt3}{2+\sqrt3} = \dfrac{(2-\sqrt3)(2+\sqrt3)}{2+\sqrt3} = \\\;\\ \\\;\\ = \dfrac{2^2-(\sqrt3)^2}{2+\sqrt3} =\dfrac{4-3}{2+\sqrt3}=\dfrac{1}{2+\sqrt3}[/tex]
Ecuația devine:
[tex]\it (2+\sqrt3)^x+\dfrac{1}{(2+\sqrt3)^x} =14 \\\;\\ \\\;\\ Vom\ nota:\ \ \ (2+\sqrt3)^x=t,\ \ t\ \textgreater \ 0,\ \ iar\ \ ecua\c{\it t}ia \ devine: \\\;\\ t+\dfrac{1}{t} =14 \Rightarrow t^2-14t+1=0[/tex]
Folosim formula "pe jumătate" pentru a rezolva ultima ecuație:
[tex]\it t_{1,2} = 7\pm\sqrt{49-1} =7\pm\sqrt48=7\pm\sqrt{16\cdot3}=7\pm4\sqrt3 \\\;\\ Dar,\ 7\pm4\sqrt3=(2\pm\sqrt3)^2 \Longrightarrow t_{1,2} = (2\pm\sqrt3)^2 [/tex]
Revenim asupra notației:
[tex]\it (2+\sqrt3)^x = (2+\sqrt3)^2 \Longrightarrow x=2 \\\;\\ (2+\sqrt3)^x = (2-\sqrt3)^2 \Longrightarrow (2+\sqrt3)^x = \dfrac{1}{(2+\sqrt3)^2} \Longrightarrow \\\;\\ \\\;\\ \Longrightarrow (2+\sqrt3)^x =(2+\sqrt3)^{-2} \Longrightarrow x=-2[/tex]
Așadar, ecuația dată are două soluții:
[tex]\it x_1=-2,\ \ x_2 =2 [/tex]
Suma celor două soluții este:
S = -2 + 2 = 0
