Sper să reușesc să explicitez puțin răspunsul Elenei. Îmi cer scuze dacă nu trebuia să intervin, vreau doar să detaliez puțin.
Deci, formula ce se aplică este aceasta:
[tex]x^{-1} = \frac{1}{x}[/tex]
Doar că pentru a o aplica este nevoie de un artificiu: se scrie 1/2 ca -(-1/2).
Astfel:
[tex]\frac{1}{2} = - (-\frac{1}{2}) = (-1) * (-\frac{1}{2}) \\\\
2^\frac{1}{2} = 2^{-(-\frac{1}{2})} = 2^{(-1)*(-\frac{1}{2})}[/tex]
În acest punct se aplică o formulă de la puteri: a la puterea m * n sau n * m este a la puterea n, totul la puterea m:
[tex]a^{m*n} = (a^m)^n[/tex]
Și știind că înmulțirea este comutativă, (-1) * (-1/2) este același lucru cu (-1/2) * (-1). Acum să ne întoarcem la ecuația noastră, aplicând formula și comutativitatea:
[tex]2^\frac{1}{2}= 2^{(-1)*(-\frac{1}{2})} = (2^{-\frac{1}{2}})^{-1}[/tex]
Acum suntem exact la formula de la început, doar că la noi x-ul este:
[tex]x = (2^{-\frac{1}{2}})[/tex]
Și este ridicat la puterea -1. Acum doar aplicăm formula și obținem:
[tex](2^{-\frac{1}{2}})^{-1} = \frac{1}{2^{-\frac{1}{2}}}[/tex]
Și ca să obținem și ultima transformăm 1 în 1 la puterea -1/2, pentru că 1 la orice putere tot 1 e, deci acel 1 de sus îl putem scrie ca 1 la orice putere. Noi avem nevoie de -1/2 ca să putem grupa puterea la fracție. Iar apoi aplicăm formula care zice a la x supra b la x = a/b totul la x:
[tex]\frac{a^x}{b^x} = (\frac{a}{b})^x[/tex]
deci:
[tex]\frac{1}{2^{-\frac{1}{2}}} = \frac{1^{-\frac{1}{2}}}{2^{-\frac{1}{2}}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}[/tex]
Centralizând totul:
[tex]2^\frac{1}{2} = 2^{(-\frac{1}{2})*(-1)} = \\\\
= (2^{-\frac{1}{2}})^{-1} = \frac{1}{2^{-\frac{1}{2}}} \\\\
= \frac{1^{-\frac{1}{2}}}{2^{-\frac{1}{2}}} = (\frac{1}{2})^{-\frac{1}{2}}[/tex]
