a) Noi știm că suma măsurilor unghiurilor unui triunghi este 180°.
[tex]\it m(\hat{A}) +m(\hat{B}) +m(\hat{C}) = 180^o[/tex]
Notăm măsurile celor trei unghiuri cu x, y, z respectiv.
x + y + z = 180° (1)
{x, y, z} invers propor'ionale cu {2, 3, 6} ⇒ 2x = 3y = 6z = k (2)
Din relația (2) obținem :
[tex]\it x=\dfrac{k}{2},\ \ y=\dfrac{k}{3}, \ \ z=\dfrac{k}{6}\ \ \ \ (3)
\\\;\\ \\\;\\
(1),\ (3) \Rightarrow \dfrac{^{3)}k}{\ 2}+\dfrac{^{2)}k}{\ 3}+\dfrac{k}{6} =180^o\Rightarrow \dfrac{3k+2k+k}{6} =180^o \Rightarrow
\\\;\\ \\\;\\
\Rightarrow \dfrac{6k}{6}=180^o \Rightarrow k=180^o\ \ \ \ (4)[/tex]
Din relațiile (3), (4) rezultă:
x=180°/2 = 90°, y = 180°/3 = 60°, z = 180°/6 = 30°
Prin urmare, triunghiul ABC este dreptunghic în A, fiind un triunghi
dreptunghic particular, (30°, 60°, 90°).
b) Desenăm triunghiul ABC, așezat pe ipotenuză, apoi ducem AM⊥BC,
cu M pe BC, iar AM este înălțimea corespunzătoare ipotenuzei.
Scriem 60° pe unghiul B.
Pentru a duce bisectoarea unghiului C, vom marca acest unghi cu un arc
de cerc, fixăm un punct pe mijlocul arcului, apoi unim C cu punctul fixat
și prelungim până intersectăm AB în N.
(CN - bisectoare ⇒ m(∡NCB) = m(∡NCA) = 30°/2 = 15°.
Scriem 15°pe unghiurile din C.
c)
În triunghiul ANC, dreptunghic în A, m(∡ANC) = 75° (complementul lui NCA)
În triunghiul MAB, dreptunghic în M, m(∡MAB) = 30° (complementul lui B).
Notăm AM ∩ CN = {P}.
∡MPN este unghi exterior triunghiului ANP, deci măsura lui va fi egală cu
suma măsurilor unghiurilor interioare neadiacente lui.
m(∡MPN) = m(∡PAN) + M(∡ANP) = 30° + 75° = 105°
