Ideea este să observi că
[tex]3+ \sqrt{5}= (\sqrt{5}-1 )( \sqrt{5} +2 )[/tex]
Iar
[tex]7-3 \sqrt{5}= (\sqrt{5}-1 )( \sqrt{5} -2 )[/tex]
(Poți verifica înmulțind parantezele)
Astfel, ecuația devine:
[tex]a= \sqrt{(\sqrt{5}-1)( \sqrt{5} +2)} \cdot \sqrt[3]{\sqrt{5}-1} \cdot \sqrt[6]{(\sqrt{5}-1)( \sqrt{5} -2)}
[/tex]
Ridicăm totul la a 6-a:
[tex]a^6= (\sqrt{5}-1 )^3 \cdot ( \sqrt{5} +2)^3 \cdot (\sqrt{5}-1)^2 \cdot (\sqrt{5}-1) \cdot ( \sqrt{5} -2)} \\\\
a^6=(\sqrt{5}-1)^{3+2+1} \cdot ( \sqrt{5} +2)^2 \cdot ( \sqrt{5} +2) ( \sqrt{5} -2)[/tex]
Înmulțim ultimele două paranteze după formula [tex](a+b)(a-b)=a^2-b^2[/tex] și ne dă:
[tex]a^6=(\sqrt{5}-1)^{6} \cdot ( \sqrt{5} +2)^2 \cdot 1[/tex]
Aplicăm ambilor membri radical de ordin 6:
[tex]a=(\sqrt{5}-1) \sqrt[3]{\sqrt{5} +2} [/tex]
Introducem totul sub radical:
[tex]a=\sqrt[3]{(\sqrt{5}-1)^3 \cdot (\sqrt{5} +2) } [/tex]
Ridicăm paranteza la a 3-a, după formula [tex](a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3 [/tex] și obținem:
[tex]a=\sqrt[3]{(5\sqrt{5}- 3\cdot 5+3 \sqrt{5}-1 ) \cdot (\sqrt{5} +2) }\\\\
a=\sqrt[3]{(8\sqrt{5}-16 ) \cdot (\sqrt{5} +2) }\\\\
a=\sqrt[3]{8(\sqrt{5}-2 ) \cdot (\sqrt{5} +2) }\\\\
a= \sqrt[3]{8} \\\\
a=2 \in \mathbb Q ~~\checkmark[/tex]
Acum, revenind la început, poate că te întrebi cum mi-am dat seama în ce se descompun acele numere.
De exemplu, pentru primul, am plecat de la premisa că:
[tex]3+ \sqrt{5}=( \sqrt{5}+a)( \sqrt{5}+b ) [/tex]
Așa că am încercat să aflu a și b.
Pentru început am înmulțit parantezele:
[tex]3+1 \cdot \sqrt{5}=5+ab+(a+b) \sqrt{5} [/tex]
Acum, ca numărul din stânga să fie egal cu cel din dreapta, înseamnă că:
[tex]5+ab=3 \Rightarrow ab=-2[/tex]
și
[tex]a+b=1[/tex]
Acum, avem două numere (a și b). Știm produsul și suma lor. De-asta, folosindu-ne de relațiile lui Viete, putem alcătui o ecuație de gradul al doilea ale cărei soluții sunt a și b.
[tex]X^2-SX+P=0[/tex]
Unde S este suma și P produsul.
Deci ecua��ia va fi:
[tex]X^2-1\cdot X-2=0 \Leftrightarrow X^2-X-2=0[/tex]
Soluțiile ei sunt -1 și 2, deci a=-1 și b=2.
Astfel:
[tex]3+ \sqrt{5}=( \sqrt{5}+a)( \sqrt{5}+b )=( \sqrt{5}-1)( \sqrt{5}+2)[/tex]
La fel poți face și pentru [tex]7-3 \sqrt{5}[/tex].
