[tex]A_n (n,n+1)\\ \\ |\overrightarrow{OA_k}|\leq |\overrightarrow{OB_n}| \\ \\ \overrightarrow{OA_k} \quad $si$ \quad \overrightarrow{OA_n} $ sunt chiar vectorii de pozitie ai lui A_k $ respectiv A_n \\ \\ |\overrightarrow{OA_k}|\leq |\overrightarrow{OB_n}| \Rightarrow |\overrightarrow{r_{A_k}}|\leq|\overrightarrow{r_{A_n}}| \Rightarrow |ki+(k+1)j| \leq |ni+(n+1)j| \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow \sqrt{k^2+(k+1)^2} \leq \sqrt{n^2+(n+1)^2}\Big|^2 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow k^2+(k+1)^2\leq n^2+(n+1)^2 [/tex]
[tex]\\$Pe noi ne intereseaza valoarea minima a lui \underset{\geq0}{n^2}+\underset{\geq0}{(n+1)^2}. \\ \\ $Aceasta expresie are valoare minima cand elementele sumei din ea\\ au valoare minima, adica, cand sunt 0, deoarece sunt \geq0. \\ \\ n^2 = 0 \quad,\quad (n+1)^2 = 0 \Rightarrow n = 0 ,\quad n = -1 \\ \\ $daca n = 0, acesta expresie e egala cu 1, daca n = -1, aceasta expresie \\ e egala tot cu 1, deci, valoarea minima a acestei expresii este 1. \\ \\ Revenim la inecuatie:\\ \\[/tex]
[tex] \Rightarrow k^2+(k+1)^2\leq n^2+(n+1)^2 \Rightarrow \underset{\geq0}{k^2}+\underset{\geq0}{(k+1)^2}\leq 1 \\ \\ $Este important faptul ca, k este intreg, deci, singura suma de numere \\ intregi \geq 0 $ care este $\leq 1 $ este 0+0, 0+1 sau 1+0. \\ \\ \boxed{1}\quad 0+0 \leq 1 \Rightarrow k^2 = 0 $ si $ (k+1)^2 = 0 \Rightarrow k = 0 $ si $ k=-1 $ $(F) \\ $Trebuie sa avem aceeasi valoare, \Big\{0\Big\} \cap $ $\Big\{-1\Big\} = \emptyset\\ \\[/tex]
[tex]\boxed{2} \quad 0+1 \leq1 \Rightarrow k^2 = 0 $ si $ (k+1)^2 =1 \Rightarrow k = 0 $ si k = 0 $ $(A) \\ \Rightarrow $ avem o solutie $ \boxed{k=0}\\ \\ \boxed{3}\quad 1+0 \leq0 \Rightarrow k^2 = 1 $ si $ (k+1)^2 = 0 \Rightarrow k = \pm 1 $ si $ k=-1 \\\\ $ Intersectam solutiile \Big\{-1,1\Big\} \cap $ $\Big\{-1\Big\} = \Big\{-1\Big\} \Rightarrow \\ $ am mai gasit o solutie \boxed{ k = -1}\\ \\ Am epuizat toate cazurile, reunim solutiile din cazuri pe care le-am \\ gasit, si prin urmare: \\ \\ \Rightarrow \boxed{S = \Big\{-1,0\Big\}}[/tex]
Observatie: A trebuit neaparat sa aflam minimul expresiei n^2+(n+1)^2 deoarece, scrie ORICARE ar fi n, pentru k = 2 de exemplu, ar exista n = 0, iar k^2+(k+1)^2 ar fi >= decat n^2+(n+1)^2, noi trebuie sa cautam valori pentru expresia lui k^2+(k+1)^2 unde, n^2+(n+1)^2 nu poate ajunge niciodata mai jos, altfel, daca n^2+(n+1)^2 poate ajunge mai jos decat k^2+(k+1)^2, atunci nu ar mai fi ORICARE ar fi n, deci nu ar exista solutii, deci, de asta trebuie sa aflam valoarea la care nu poate ajunge niciodata mai jos n^2+(n+1)^2, adica, valoarea 1.
Trebuie facut acest lucru deoarece expresiile k^2+(k+1)^2 si n^2+(n+1)^2 sunt practic una si aceeasi expresie, doar ca au parametri diferiti.
