Enunț :
Dacă D = 1/3 + 2/5 + 3/7+...+ n/(2n+1) și
S = 1+1/2 +1/3 + 1/4+...+1/n, n ∈ ℕ* ,
demonstrați că:
2n - 4D < S ≤ 3n - 6D.
R:
Dubla inegalitate se poate scrie:
2n < S + 4D și S + 6D ≤ 3n
I) 2n < S + 4D ⇒ S + 4D > 2n
Fiecare termen din S este de forma 1/k, iar fiecare termen corespunzător
din 4D este de forma 4k/(2k+1).
Suma lor este :
[tex]\it \dfrac{1}{k} +\dfrac{4k}{2k+1} = \dfrac{2k+1+4k^2}{k(2k+1)} = \dfrac{4k^2+2k+1}{2k^2+k} =\dfrac{2(2k^2+k)+1}{2k^2+k} =
\\\;\\ \\\;\\
=\dfrac{2(2k^2+k)}{2k^2+k} +\dfrac{1}{2k^2+k} = 2+ \dfrac{1}{2k^2+k} \ \textgreater \ 2 [/tex]
Grupând corespunzător termenii din S + 4D obținem n perechi și suma
termenilor din fiecare pereche este > 2, deci:
[tex]\it S+4D \ \textgreater \ \underbrace{2+2+2+ ... + 2}_{de \ n\ ori} \Longrightarrow S+4D \ \textgreater \ 2n \Longrightarrow 2n - 4D \ \textless \ S\ \ \ \ (*)[/tex]
II) S + 6D ≤ 3n
Fiecare termen din S este de forma 1/k, iar fiecare termen corespunzător
din 6D este de forma 6k/(2k+1).
Suma lor este :
[tex]\it\dfrac{1}{k} +\dfrac{6k}{2k+1} = \dfrac{2k+1+6k^2}{k(2k+1)} =\dfrac{6k^2+3k-k+1}{2k^2+k} =
\\\;\\ \\\;\\
=\dfrac{3(2k^2+k)-(k-1)}{2k^2+k} = \dfrac{3(2k^2+k)}{2k^2+k} - \dfrac{k-1}{2k^2+k} = 3-\dfrac{k-1}{2k^2+k} \leq3[/tex]
Grupând corespunzător termenii din S + 6D obținem n perechi și suma
termenilor din fiecare pereche este ≤ 3, deci:
[tex]\it S+6D \leq \underbrace{3+3+3+\ ...\ +3}_{de \ n\ ori} \Longrightarrow S+6D\leq 3n \Longrightarrow S \leq 3n - 6D \ \ (**)
\\\;\\ \\\;\\
(*),\ (**) \Longrightarrow 2n - 4D \ \textless \ S\leq 3n - 6D
[/tex]
