Ai desenul mai jos.
Avem un triunghi oarecare ABC, iar AA' si BB' si CC' sint mediane, astfel M-centrul de greutate. Prelungim BB', astfel incit DB'=BB' si construim triunghiul ADB'.
Din axioma inegalitatii triunghiului, obtinem ca in triunghiul ADB', BD≤AD+AB, iar deoarece am constriut astfel incit 2BB'=BD, obtinem ca
AD=BC "{ΔAB'D=CB'B [Criteriul LUL (∡B'-comun; B'D=B'B; AB'=CB', deoarece BB' este mediana, atunci B' este mijlocul segmentului AC)]}"⇒
⇒2BB'≤BC+AB. Analogic efectuam pentru celelalte puncte si obtinem:
2AA'≤AB+AC;
2CC'≤AC+BC.
Adunind inegalitatile, obtinem:
2BB'+2AA'+2CC'≤BC+AB+AB+AC+AC+BC
2(AA'+BB'+CC')≤2AB+2BC+2AC
2(AA'+BB'+CC')≤2(AB+BC+AC)
AA'+BB'+CC'≤AB+BC+AC
Ceea ce trebuia de demonstrat.
