1.
[tex]A= \frac{5}{1\cdot6}+ \frac{5}{6\cdot11}+ \frac{5}{11\cdot16}+...+ \frac{5}{201\cdot206} [/tex]
Termenul general are forma asta:
[tex] \frac{5}{(5k-4)(5k+1)} [/tex]
O sa il scriem sub alta forma:
[tex]\frac{5}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{5+5k-5k}{(5k-4)(5k+1)}= \frac{(5k+1)+(4-5k)}{(5k-4)(5k+1)}= \frac{(5k+1)-(5k-4)}{(5k-4)(5k+1)}=\\\\
= \frac{5k+1}{(5k-4)(5k+1)}- \frac{5k-4}{(5k-4)(5k+1)} = \frac{1}{5k-4} - \frac{1}{5k+1} [/tex]
Astfel: 5/(1*6) = 1/1 - 1/6 ; 5/(6*11)= 1/6 - 1/11 si tot asa:
[tex]A= \frac{1}{1} - \frac{1}{6} + \frac{1}{6} - \frac{1}{11} + \frac{1}{11} - \frac{1}{16} +...+ \frac{1}{201} - \frac{1}{206} [/tex]
Se vede ca se reduc toti termenii, mai putin primul si ultimul:
[tex]A= \frac{1}{1}- \frac{1}{206}= \frac{205}{206} [/tex]
2.
a)
-> Unghiulile ANM si PNC sunt alterne-interne
-> AN = NC (N este mijlocul lui AC)
-> MN = NP
Din cele 3 ==> ΔAMN ≡ ΔCPN
b)
M este mijlocul lui AB si N este mijlocul lui AC ==> MN este linie mijlocie in ΔABC ==> MN = BC / 2 si MN || BC
PN = MN ==> PM = PN + NM = 2NM = 2 * BC / 2 = BC (1)
PN este in alungirea segemntului MN ==> PN || BC (2)
Din (1) si (2) ==> MBCP este paralelogram ==> MB || CP, dar MB este inclus in dreapta AB ==> AB || CP
c)
MBCP este paralelogram ==> [MP] ≡ [CP]
