a) ne uitam la triunghiul AEC su observam urmatoarele
1)BM||EC atunci stiind ca N apartine lui BM si MN||EC
2) BM este mediana triunghiului ABC atunci M este mijlocul laturii AC
Din 1) si 2) folosind teorema lui Thales, ne dam seama ca MN este linia mijlocie a triunghiului AEC, adica N este mijlocul laturii AE, adica AN=NE
b) stim ca
1) N este mijlocul laturii AE
2) N este mijlocul laturii BM
daca ne uitam la patrulaterul ABEM observam ca diagonalele AE si BM se intretaie in punctul N. Dar din 1) si 2) ne dam seama ca se injumatatesc in punctul N. Atunci din aceasta relatie, stim ca patrulaterul ABEM este un paralleogram
c) Stim ca o mediana imparte un triunghi in 2 triunghiuri de arie egala
Atunci pentru mediana BM din triunghiul ABC avem
[tex]A_{ABC}=2A_{ABM}[/tex]
Mai stim ca diagonala unui paralelogram imparte paralelogramul in 2 triunghiuri de arie egala. Atunci pentru diagonala BM in paralelogramul AEBM avem
[tex]A_{ABEM}=2A_{ABM}[/tex]
Deci rezulta in mod clar
[tex]A_{ABC}=A_{ABEM}[/tex]
