Înălțimea triunghiului se află foarte ușor.
Desenăm triunghiul ABC, echilateral, apoi ducem înălțimea AD, care este
și mediană. BC = 12 ⇒ BD = 12/2 = 6 cm.
În triunghiul ABD, dreptunghic în D, cunoaștem AB = 12cm, BD = 6cm.
Aplicăm teorema lui Pitagora în acest triunghi:
AD² = AB² - BD² ⇒ AD² = 12² - 6² = 6²·2² - 6² = 6²(2²-1) = 6²·3 ⇒
⇒ AD = √(6²·3) = 6√3cm.
Fixăm punctul O pe AD, la 2/3 de vârf și 1/3 de baza BC.
O este centrul cercului circumscris triunghiului.
Raza cercului circumscris este OA = (2/3)·AD = (2/3)·6√3 = 4√3cm
Apotema triunghiului este OD = AD - AO = 6√3 - 4√3 = 2√3cm.
Aria se află cu formula:
[tex]\it \mathcal{A} =\dfrac{\ell^2\sqrt3}{4} = \dfrac{12^2\sqrt3}{4} =\dfrac{12\cdot12\sqrt3}{4} =3\cdot12\sqrt3 =36\sqrt3\ cm^2[/tex]
