[tex]\it I_3 = \int \dfrac{(x+1)^6+(x-1)^6}{x^2+1}dx[/tex]
Numărătorul fracției de sub integrală se poate scrie:
[tex]\it N=(x + 1)^6 + (x - 1)^6 = [(x + 1)^2]^3 + [(x-1)^2]^3 =
[/tex]
[tex] = [\it (x+1)^2+(x-1)^2][(x+1)^4-(x+1)^2(x-1)^2+(x-1)^4]
[/tex]
Expresia din prima paranteză dreaptă se scrie:
[tex]\it (x+1)^2+(x-1)^2 = x^2+2x+1+x^2-2x+1=2(x^2+1) \ \ \ (1)[/tex]
Expresia din a doua paranteză dreaptă se scrie:
[tex]\it (x+1)^4-(x+1)^2(x-1)^2+(x-1)^4 =
\\\;\\
= (x+1)^4-2(x+1)^2(x-1)^2+(x-1)^4 + (x+1)^2(x-1)^2 =
\\\;\\
= [(x+1)^2 - (x-1)^2]^2 +(x^2-1)^2=[/tex]
[tex]\it = (x^2+2x+1-x^2+2x-1)^2 +x^4-2x^2+1 =
\\\;\\
=(4x)^2+x^4-2x^2+1 = 16x^2+x^4-2x^2+1 = x^4+14x^2+1 \ \ (2)[/tex]
[tex]\it (1),\ (2) \Rightarrow N = 2(x^2+1)(x^4+14x^2+1)[/tex]
Acum, expresia de sub integrală se poate scrie:
[tex]\it \dfrac{2(x^2+1)(x^4+14x^2+1)}{x^2+1} =2x^4+28x^2+2
\\\;\\ \\\;\\
I_3 = \int(2x^4+28x^2+2)dx = \dfrac{2x^5}{5}+\dfrac{28x^3}{3} +2x + \mathcal{C}
[/tex]
