👤
WALTERSAMUELEZ
a fost răspuns

Fie triunghiul ABC si [AO] o mediana a sa. Demonstati ca triunghiul ABC este dreptunghi in A, daca si numai daca AO = BC/2. Vreau rezolvare completa!

Răspuns :

OVDUMIEZ
1)  daca AO=BO=OC rezulta ca AO este raza unui cerc cu diametrul BC, situatie in care laturile AB si AC ale unghiului A subantind jumatate de cerc deci ∡A=180/2=90° (vezi masura unghiului cu varful pe cerc)
2)  daca ∡A=90°, rezulta ca tr. ABC poate fi asimilat cu jumatate dintr-un dreptunghi cu diagonalele congruente cu BC , diagonale care se injumatatesc.
prin urmare AO=BC/2, BO=OC

congruenta diagonalelor se demonstreaza prin congruenta triunghiurilor ABC cu ABD
injumatatirea diagonalelor rezulta din congruenta triunghiurilor BOC cu AOD
daca vrei sa folosesti figura pentru 2) atunci considera diagonalele BD si AC iar triunghiul  este ABD
pentru 1) te lamureste figura a doua



Vezi imaginea OVDUMI
Vezi imaginea OVDUMI
RICHARD76EZ
Salut,



Trebuie demonstrata o propozitie de forma „p, daca si numai daca q”. Aceasta inseamna ca trebuie demonstrate doua propozitii, directa si reciproca sa. In cazul acesta cele doua propozitii sunt:

I. Daca [AO] este mediana in triunghiul ABC, dreptunghic in A, atunci AO = BC / 2.

II. Daca [AO] este mediana in triunghiul ABC si AO = BC / 2 atunci triunghiul este dreptunghic in A.

Demonstram propozitia directa (I.).

Construim [OD] ≡ [OA] , A, O, D coliniare.

Deoarece [BO] ≡ [OC], din ipoteza, rezulta ca ABDC este paralelogram.

Dar, m(∡BAC) = 90° ==> ABDC este dreptunghi.

==> BC = AD ==> BO = OC = OD = OA. Deci AO = BC / 2.

Demonstram propozitia reciproca (II.).

Construim, ca mai inainte, [OD] ≡ [OA] , A, O, D coliniare. Deoarece [BO] ≡ [OC], din ipoteza, rezulta din nou ca ABDC este paralelogram.

Dar AO = BO = OC = OD, deci AD = DC si prin urmare ABDC este dreptunghi ( paralelogram cu diagonalele congruente ). Rezulta ca m(∡BAC) = 90°.
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile și inspiraționale. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, suntem aici pentru a vă ajuta. Ne face plăcere să vă revedem și vă invităm să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid!


Ez Studiers: Alte intrebari