Răspuns :
sa aratam ca:
(x+y)(x+y)/xy - 4 ≥0, cu x,y reale pozitive R+, se obtine:
(x+y)^2-4xy≥0
x^2+y^2+2xy-4xy≥0
x^2+y^2-2xy≥0 (1)
pentru a demonstra (1) plecam de la relatia evidenta : (x-y)^2≥0 ⇔ x^2+y^2-2xy≥0
prin urmare inegalitatea din enunt (1) este demonstrata.
se observa cu usurinta ca egalitatea are loc pentru x=y
(x+y)(x+y)/xy - 4 ≥0, cu x,y reale pozitive R+, se obtine:
(x+y)^2-4xy≥0
x^2+y^2+2xy-4xy≥0
x^2+y^2-2xy≥0 (1)
pentru a demonstra (1) plecam de la relatia evidenta : (x-y)^2≥0 ⇔ x^2+y^2-2xy≥0
prin urmare inegalitatea din enunt (1) este demonstrata.
se observa cu usurinta ca egalitatea are loc pentru x=y
[tex] (x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq 4[/tex]
[tex] \frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y} \geq 4[/tex]
[tex] 1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1 \geq 4[/tex]
[tex] \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 4-2[/tex]
[tex] \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2[/tex]
{amplificam prima fractie cu x si a doua fractie cu y}
[tex] \frac{x^{2}}{xy}+\frac{y^{2}}{xy}\geq 2[/tex]
[tex] \frac{x^{2}+y^{2}}{xy} \geq2[/tex]
[tex] \frac{x^{2}+y^{2}+2xy-2xy}{xy} \geq2[/tex]
[tex]\frac{(x+y)^{2}}{xy}-\frac{2xy}{xy} \geq2[/tex]
[tex] \frac{(x+y)^{2}}{xy}-2 \geq2[/tex]
[tex]\frac{(x+y)^{2}}{xy}-4 \geq 0[/tex]
Amplificam pe 4 cu xy:
[tex]\frac{(x+y)^{2}}{xy}-\frac{4xy}{xy} \geq 0[/tex]
[tex]\frac{(x+y)^{2}-4xy}{xy} \geq 0 |*xy[/tex]
[tex] (x+y)^{2}-4xy \geq 0 [/tex]
[tex] x^{2}+2xy+y^{2}-4xy \geq0[/tex]
[tex] x^{2}-2xy+y^{2} \geq0[/tex]
[tex] (x-y)^{2} \geq 0[/tex] (A)
=> [tex] \boxed{(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq 4}[/tex]
[tex] \frac{x}{x}+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{y}{y} \geq 4[/tex]
[tex] 1+\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+1 \geq 4[/tex]
[tex] \frac{x}{y}+\frac{y}{x} \geq 4-2[/tex]
[tex] \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2[/tex]
{amplificam prima fractie cu x si a doua fractie cu y}
[tex] \frac{x^{2}}{xy}+\frac{y^{2}}{xy}\geq 2[/tex]
[tex] \frac{x^{2}+y^{2}}{xy} \geq2[/tex]
[tex] \frac{x^{2}+y^{2}+2xy-2xy}{xy} \geq2[/tex]
[tex]\frac{(x+y)^{2}}{xy}-\frac{2xy}{xy} \geq2[/tex]
[tex] \frac{(x+y)^{2}}{xy}-2 \geq2[/tex]
[tex]\frac{(x+y)^{2}}{xy}-4 \geq 0[/tex]
Amplificam pe 4 cu xy:
[tex]\frac{(x+y)^{2}}{xy}-\frac{4xy}{xy} \geq 0[/tex]
[tex]\frac{(x+y)^{2}-4xy}{xy} \geq 0 |*xy[/tex]
[tex] (x+y)^{2}-4xy \geq 0 [/tex]
[tex] x^{2}+2xy+y^{2}-4xy \geq0[/tex]
[tex] x^{2}-2xy+y^{2} \geq0[/tex]
[tex] (x-y)^{2} \geq 0[/tex] (A)
=> [tex] \boxed{(x+y)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}) \geq 4}[/tex]
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile și inspiraționale. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, suntem aici pentru a vă ajuta. Ne face plăcere să vă revedem și vă invităm să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid!