Răspuns :
a) Observam ca
[tex]BC=BM+MN+NC=3BM=3NC[/tex](1)
[tex]BP=\frac{AB}{2}=\frac{2}{3}\frac{BC}{2}=\frac{BC}{3}=\frac{3BM}{3}=BM[/tex](2)
[tex]MC=MN+NC=2NC=\frac{2BC}{3}[/tex](3)
In dreptunghiul ABCD laturile opuse sunt congruente, atunci
[tex]CD=AB=\frac{2BC}{3}=MC[/tex](4)
Ne uitam acum la triunghiul BPM unde din relatia 2 stim ca BP=BM, deci triunghiul este isoscel. Atunci avem unghiurile congruente
[tex]\angle{BPM}=\angle{BMP}[/tex]
Unghiurile unui dreptunghi sunt drepte, atunci [tex]\angle{ABC}=\angle{PBM}=90[/tex] Atunci avem
[tex]\angle{PBM}+\angle{BPM}+\angle{BMP}=180\Rightarrow 2\angle{BMP}=180-\angle{PBM}=180-90=90\Rightarrow \angle{BMP}=\frac{90}{2}=45[/tex](5)
Ne uitam la triunghiul CMD. Din relatia 4) MC=CD deci triunghiul CMD este isoscel cu [tex]\angle{CMD}=\angle{CDM}[/tex]. Fiind dreptunghi [tex]\angle{BCD}=\angle{DCM}=90[/tex] atunci avem
[tex]\angle{DCM}+\angle{CMD}+\angle{CDM}=180\Rightarrow 2\angle{CMD}=180-\angle{DCM}=180-90=90\Rightarrow \angle{CMD}=\frac{90}{2}=45[/tex](6)
Din 5 si 6 si vazand ca unghiurile BMP CMD si PMD fiind suplimentare
[tex]\angle{BMP}+\angle{CMD}+\angle{PMD}=180\Rightarrow 45+45+\angle{PMD}=180\Rightarrow \angle{PMD}=180-90=90[/tex]
b) Observam relatiile
[tex]BN=2BM=2\frac{BC}{3}=BC[/tex](1)
si mai stim din enunt si din relatia 1) de la a)
[tex]BM=NC=BP[/tex](2)
Atunci ne uitam la triunghiurile BNP si NCD. Ambele sunt triunghiuri dreptunghice cu unghiurile drepte [tex]\angle{PBN}=\angle{NCD}=90[/tex] si din relatiile 1 si 2 de mai sus vedem ca ambele catete ale triunghiurilor dreptunghice sunt congruente BN=CD si BP=NC
Atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente(cazul CC cateta-cateta) si inseamna ca si ipotezele sunt congruente adica PN=ND.Ceea ce inseamna ca PND este triunghi isoscel.
Cele 3 triunghiuri sunt congruente, inseamna ca si unghiurile sunt congruente, deci [tex]\angle{CND}=\angle{BPN}[/tex]
BPN si BNP sunt unghiurile complementare ramase in triunghiul dreptunghic BPN deci suma lor este de 90 grade [tex]\angle{BPN}+\angle{BNP}=90[/tex]
Observam ca unghiurile BNP,PND si CND sunt suplimentare, atunci
[tex]\angle{CND}+\angle{BNP}+\angle{PND}=180\Rightarrow \angle{BPN}+\angle{BNP}+\angle{PND}=180\Rightarrow 90+\angle{PND}=180\Rightarrow \angle{PND}=180-90=90[/tex] deci triunghiul isoscel PND este dreptunghic
[tex]BC=BM+MN+NC=3BM=3NC[/tex](1)
[tex]BP=\frac{AB}{2}=\frac{2}{3}\frac{BC}{2}=\frac{BC}{3}=\frac{3BM}{3}=BM[/tex](2)
[tex]MC=MN+NC=2NC=\frac{2BC}{3}[/tex](3)
In dreptunghiul ABCD laturile opuse sunt congruente, atunci
[tex]CD=AB=\frac{2BC}{3}=MC[/tex](4)
Ne uitam acum la triunghiul BPM unde din relatia 2 stim ca BP=BM, deci triunghiul este isoscel. Atunci avem unghiurile congruente
[tex]\angle{BPM}=\angle{BMP}[/tex]
Unghiurile unui dreptunghi sunt drepte, atunci [tex]\angle{ABC}=\angle{PBM}=90[/tex] Atunci avem
[tex]\angle{PBM}+\angle{BPM}+\angle{BMP}=180\Rightarrow 2\angle{BMP}=180-\angle{PBM}=180-90=90\Rightarrow \angle{BMP}=\frac{90}{2}=45[/tex](5)
Ne uitam la triunghiul CMD. Din relatia 4) MC=CD deci triunghiul CMD este isoscel cu [tex]\angle{CMD}=\angle{CDM}[/tex]. Fiind dreptunghi [tex]\angle{BCD}=\angle{DCM}=90[/tex] atunci avem
[tex]\angle{DCM}+\angle{CMD}+\angle{CDM}=180\Rightarrow 2\angle{CMD}=180-\angle{DCM}=180-90=90\Rightarrow \angle{CMD}=\frac{90}{2}=45[/tex](6)
Din 5 si 6 si vazand ca unghiurile BMP CMD si PMD fiind suplimentare
[tex]\angle{BMP}+\angle{CMD}+\angle{PMD}=180\Rightarrow 45+45+\angle{PMD}=180\Rightarrow \angle{PMD}=180-90=90[/tex]
b) Observam relatiile
[tex]BN=2BM=2\frac{BC}{3}=BC[/tex](1)
si mai stim din enunt si din relatia 1) de la a)
[tex]BM=NC=BP[/tex](2)
Atunci ne uitam la triunghiurile BNP si NCD. Ambele sunt triunghiuri dreptunghice cu unghiurile drepte [tex]\angle{PBN}=\angle{NCD}=90[/tex] si din relatiile 1 si 2 de mai sus vedem ca ambele catete ale triunghiurilor dreptunghice sunt congruente BN=CD si BP=NC
Atunci cele 2 triunghiuri sunt congruente(cazul CC cateta-cateta) si inseamna ca si ipotezele sunt congruente adica PN=ND.Ceea ce inseamna ca PND este triunghi isoscel.
Cele 3 triunghiuri sunt congruente, inseamna ca si unghiurile sunt congruente, deci [tex]\angle{CND}=\angle{BPN}[/tex]
BPN si BNP sunt unghiurile complementare ramase in triunghiul dreptunghic BPN deci suma lor este de 90 grade [tex]\angle{BPN}+\angle{BNP}=90[/tex]
Observam ca unghiurile BNP,PND si CND sunt suplimentare, atunci
[tex]\angle{CND}+\angle{BNP}+\angle{PND}=180\Rightarrow \angle{BPN}+\angle{BNP}+\angle{PND}=180\Rightarrow 90+\angle{PND}=180\Rightarrow \angle{PND}=180-90=90[/tex] deci triunghiul isoscel PND este dreptunghic
Vă mulțumim pentru vizita pe site-ul nostru dedicat Matematică. Sperăm că informațiile disponibile v-au fost utile și inspiraționale. Dacă aveți întrebări sau aveți nevoie de suport suplimentar, suntem aici pentru a vă ajuta. Ne face plăcere să vă revedem și vă invităm să adăugați site-ul nostru la favorite pentru acces rapid!