1.
Sa presupunem ca acel multiplu este 999:
999 : 7 = 142 rest 5 (nu este multiplu)
Nu exista un numar de 3 cifre mai mare decat 999, asadar, va trebui sa cautam unul mai mic. Restul impartirii lui 999 la 7 este 5 ==> Trebuie sa scadem 5 pentru a ajunge la multiplul urmator, mai mic:
999 - 5 = 994
2.
x si y trebuie sa fie numere intregi, altfel, ar exista o infinitate se solutii.
a)
(x - 1)(y + 3) = 18
Produsul a doua numere trebuie sa fie egal cu 18. Vom cauta toate perechile de numere ale caror produs este 18.
a * b = 18 ==> (a, b) ∈ {(1, 18), (2, 9), (3, 6), (6, 3), (9, 2), (18, 1)}
Vom lua fiecare caz:
I. 1 * 18 = 18 ==> x - 1 = 1 si y + 3 = 18
x = 2; y = 15
II. 2 * 9 = 18 ==> x - 1 = 2 si y + 3 = 9
x = 3; y = 6
III. 3 * 6 = 18 ==> x - 1 = 3 si y + 3 = 6
x = 4; y = 3
IV. 6 * 3 = 18 ==> x - 1 = 6 si y + 3 = 3
x = 7; y = 0
V. 9 * 2 = 18 ==> x - 1 = 9 si y + 3 = 2
x = 10; y - imposibil
La celelalte cazuri, nu vor mai exista valori naturale pentru y.
(x, y) ∈ {(2, 15), (3, 6), (4, 3), (7, 0)}
*********************
*Daca vom considera si numerele negative, atunci vom mai avea niste cazuri:
V. 9 * 2 = 18 ==> x - 1 = 9 si y + 3 = 2
x = 10; y = -1
VI. 18 * 1 ==> x - 1 = 18 si y + 3 = 1
x = 19; y = -2
Daca a * b = 18, atunci a si b pot fi ambele negative:
(a, b) ∈ {(-1, -18), (-2, -9), (-3, -6), (-6, -3), (-9, -2), (-18, -1)}
Vom avea din nou 6 cazuri:
I.
x - 1 = -1 ==> x = 0
y + 3 = -18 ==> y = -21
II.
x - 1 = -2 ==> x = -1
y + 3 = -9 ==> y = -12
III.
x - 1 = -3 ==> x = -2
y + 3 = -6 ==> y = -9
IV.
x - 1 = -6 ==> x = -5
y + 3 = -3 ==> y = -6
V.
x - 1 = -9 ==> x = -8
y + 3 = -2 ==> y = -5
VI.
x - 1 = -18 ==> x = -17
y + 3 = -1 ==> y = -4
(x, y) ∈ {(10, -1), (19, -2), (0, -21), (-1, -12), (-2, -9), (-5, -6), (-8, -5), (-17, -4)}
**********************
3.
[tex]n=2^1+2^2+2^3+...+2^{144}\ \ \text{(Inmultim cu 2 in ambii membri)}\\\\
2n = \underbrace{2^2+2^3+2^4+...+2^{144}}_{n-2^1}+2^{145}\\\\
2n=n-2+2^{145}\\
n=2^{145}-2=2(2^{144}-1)[/tex]
Trebuie sa vedem ce se intampla cu restul impartirii la fiecare dintre numere pentru puterile lui 2 .
a)
[tex]\text{Restul impartirii la 6}\\
2^1=2=6k+2\ \ \ \text{(restul 2)}\\
2^2=4=6k+4\ \ \ \text{(restul 4)}\\
2^3=8=6k+2\\
2^4=16=6k+4\\
2^5=32=6k+2\\
2^6=64=2k+4[/tex]
Se observa ca resturile se repeta din 2 in 2:
Daca puterea e para, atunci, restul este 4, daca e impara, este 2
145 este impar ==> 2¹⁴³ = 6k + 2 ==> n = 2¹⁴³ - 2 = 6k ==> n este divizibil cu 6
b)
[tex]2^1=7k+2\\
2^2=7k+4\\
2^3=7k+1\\
2^4=7k+2[/tex]
Aici, restulrile se repeta din 3 in 3. Asadar, restul impartirii lui 2^n la 7 depinde de restul impartirii lui n la 3:
[tex]n=\textit{M}_3 \rightarrow 2^n=7k+1\\
n=\textit{M}_3+1\rightarrow 2^n=7k+2\\
n=\textit{M}_3+2\rightarrow 2^n=7k+4[/tex]
145 : 3 = 47 rest 1 ==> 2¹⁴³ = 7k + 2 ==> n = 2¹⁴³ - 2 = 7k ==> n este divizibil cu 7
c)
[tex]2^1=15k+2\\
2^2=15k+4\\
2^3=15k+8\\
2^4=15k+1\\
2^5=15k+2[/tex]
[tex]n=\textit{M}_4\rightarrow2^n=15k+1\\
n=\textit{M}_4+1\rightarrow2^n=15k+2\\
n=\textit{M}_4+2\rightarrow2^n=15k+4\\
n=\textit{M}_4+3\rightarrow2^n=15k+8[/tex]
145 : 4 = 36 rest 1 ==> 2¹⁴⁵ = 15k + 2 ==> n = 2¹⁴⁵ - 2 = 15k ==> n este divizibil cu 15
4.
Trebuie sa verifici daca 24 se divide cu fiecare din cele 3 numere.
24 : 2 = 12 ==> Le poate rezolva in 2 zile daca rezolva 12 pe zi
24 : 4 = 6 ==> Le poate rezolva in 4 zile daca rezolva 6 pe zi
24 : 5 = 4 rest 4 ==> Nu le poate rezolva in 5 zile deoarece nu poate distribui in mod egal cele 24 de probleme pentru fiecare zi
