Orice număr natural n poate fi de forma : 4k, 4k+1, 4k+2, 4k+3, unde k∈ℕ
I) n = 4k ⇒ n² = 16k² = 4·4k² = 4x, x∈ℕ
II) n = 4k+1 ⇒ n² = 16k²+8k+1 = 4(4k² +2k) +1= 4x +1, x∈ℕ
III) n = 4k+2 ⇒ n² = 16k²+16k+4 = 4(4k² +4k+1) = 4x , x∈ℕ
IV) n = 4k+3 ⇒ n² = 16k²+24k+9 = 16k²+24k+8+1 = 4(4k² +6k+2) +1=
= 4x +1, x∈ℕ
Prin urmare, nu există nici un pătrat perfect de forma 4x+3,
pentru oricare x∈ℕ și rezultă că [tex]\it \sqrt{4x+3} \not\in \mathbb{Q}[/tex]
