b)Notez P(n): [tex]\dfrac{1}{1\cdot 3} +\dfrac{1}{3\cdot 5} +\dots + \dfrac{1}{(2n-1)\cdot (2n+1)} = \dfrac{n}{2n+1}[/tex], pentru orice n natural nenul.
Pentru n=1 avem: P(1): [tex]\frac{1}{1\cdot 3} = \dfrac{1}{3} [/tex] (Adevarat).
Pentru n=2 avem: P(2): [tex]\frac{1}{3}+\frac{1}{3\cdot 5}=\dfrac{2}{5}[/tex] (Adevarat)
Presupune ca este adevarata P(k-1), pentru [tex]k \geq 2[/tex]. Vreau sa arat ca are loc P(k).
P(k+1):[tex]\dfrac{1}{1\cdot 3} +\dfrac{1}{3\cdot 5} +\dots + \dfrac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)} = \dfrac{k}{2k+1} \implies \dfrac{k-1}{2k-1} + \frac{1}{(2k-1)\cdot (2k+1)} =\dfrac{k}{2k+1} [/tex] (adevarat).
Deci, cum [tex]P(k) \implies P(k+1)[/tex], conform principiului inductiei matematice propozitia P(n) este adevarata, pentru orice n numar natural nenul.
c) se face la fel
