1)
Daca ne referim strict la divizorii naturali, nu si intregi, avem:
D24 = {1,2,4,6,8,12,24} si nu are decat un divizor care sa fie si nr prim, pe 2
D36 = {1,2,3,4,.........,36} deci 2 si 3 ca divizori primi
D101 = {1,101}, 101 = nr prim, sigurul sau divizor prim este el insusi, ca divizor impropriu
----------------------------------------
2) n+ 2k+1 = 1543
n= 1542-2k=2(771-k), deci numar par si cum, singurul nr par este 2, verificam pentru n=2:
2k=1542-2=1540
k=1540:2 = 770 ⇒ 2k+1= 1540+1 = 1541 ⇒ singurul numar natural care satisface conditia este n=2, adica
2+1541 = 1543, 1541=impar si 2=nr prim S-a verificat. OK.
-----------------------------------------------------------------------------
3) Descompenem in factori primi si avem 54 = 2 x 3^3
si astfel calculam divizorii naturali ai lui 54:
D54={1,2,3,6,9,18,27,54}
Astfel, se poate scrie 54 ca produs de doua numere naturale diferite de 1 sub formele urmatoare:
2x27, 3x18, 6x9. Avem deci trei solutii de scriere conform enuntului.
---------------------------------------------------------------------------------
4)
24 = 11+13
53 = 11+13 + 29
55 = 2 + 11+ 13 + 29
125= o descompunere directa in termeni primi este daca ne referim la cea de mai sus pentru 55, adica de 2 ori descompunerea ptr 55, face 110 si mai trebuie inca 15, adica 2+13, deci = 2+11+13+29+2+11+13+29+2+13, toti termenii sunt primi.
Alta descompunere pentru 125 = 97+23+2+3.
